1.掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式及前n項和公式 (重點)
2．能運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式解決一些簡單的實際問題.
[教材要點]
知識點
[基礎自測]

1．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
2．一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程和是(結果保留到個位)( )
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
3．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為________．
4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求數(shù)列{an}的通項公式．
題型一 等比數(shù)列的應用
例1 借貸10 000元，月利率為1%，每月以復利計息，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?
方法歸納
解決此類問題的關鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，所謂復利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復利的計算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
跟蹤訓練1 一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？
題型二 等差數(shù)列的應用
例2 某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
方法歸納
建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù)．
跟蹤訓練2 甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.
(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？
(2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？
題型三 數(shù)列求和
例3 (1)已知等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝lg3an，則數(shù)列eq \f(1,bnbn＋1)的前n項和Sn＝________.
(2)設數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
①求數(shù)列{an}的通項公式；
②令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
方法歸納
數(shù)列求和問題一般轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼猓?br>一般常見的求和方法有：
(1)公式法(直接利用等差或等比數(shù)列的前n項和公式)；
(2)分組求和法；
(3)錯位相減法；
(4)倒序相加法；
(5)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和；形如an＝eq \f(1,n?n＋k?)(k為非零常數(shù))型化為an＝eq \f(1,n?n＋k?)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
(6)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．
跟蹤訓練3 已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，點(eq \r(an)，an＋1)(n∈N＋)在函數(shù)y＝x2＋1的圖像上，數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設cn＝eq \f(－1,an＋1lg2bn＋1)，求{cn}的前n項和Tn.
eq \x(溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)?九?)
5．4 數(shù)列的應用
新知初探·自主學習
[基礎自測]
1．解析：記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×eq \f(1,24)＝12(里)．故選B.
答案：B
2．解析：小球10次著地共經(jīng)過的路程為100＋100＋50＋…＋100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8＝299eq \f(39,64)≈300(米)．
答案：A
3．解析：鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個．
∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2).
當n＝19時，S19＝190.當n＝20時，S20＝210>200.
∴n＝19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．
答案：10
4．解析：由an＋1－an＝3n－n，
得an－an－1＝3n－1－(n－1)，
an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，
…
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
當n≥2時，以上n－1個等式兩邊分別相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)
＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，
即an－a1＝eq \f(3?1－3n－1?,1－3)－eq \f(n?n－1?,2).
又∵a1＝1，
∴an＝eq \f(1,2)×3n－eq \f(n?n－1?,2)－eq \f(1,2).
顯然a1＝1也適合上式，
∴{an}的通項公式為an＝eq \f(1,2)×3n－eq \f(n?n－1?,2)－eq \f(1,2).
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1 解析：法一：設每個月還貸a元，第1個月后欠款為a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1≤n≤6)，則a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由題意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝eq \f(1.016×102,1.016－1).因為1.016≈1.061，
所以a≈eq \f(1.061×102,1.061－1)≈1 739(元)．
故每月應支付1 739元．
法二：一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，設每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq \f(a[?1＋0.01?6－1],1.01－1)＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)≈1 739(元)．
故每月應支付1 739元．
跟蹤訓練1 解析：用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，
得an＋1＝eq \f(4,5)an，
因此，數(shù)列{an}是首項a1＝25，公比q＝eq \f(4,5)的等比數(shù)列．
熱氣球在前n分鐘內上升的總高度為：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))480，∴在24小時內能構筑成第二道防線．
跟蹤訓練2 解析：(1)設n分鐘后第1次相遇，依題意，有2n＋eq \f(n?n－1?,2)＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去) .
第1次相遇是在開始運動后7分鐘．
(2)設n分鐘后第2次相遇，依題意，有2n＋eq \f(n?n－1?,2)＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在開始運動后15分鐘．
例3 解析：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq \f(a4,a1)＝q3＝27，
解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，
故bn＝lg3an＝n，
所以eq \f(1,bnbn＋1)＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
則Sn＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)
＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
(2)①由已知，當n≥1時，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1.
②由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
從而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝eq \f(1,9)[(3n－1)22n＋1＋2]．
答案：(1)eq \f(n,n＋1) (2)見解析
跟蹤訓練3 解析：(1)∵點(eq \r(an)，an＋1)(n∈N＋)在函數(shù)y＝x2＋1的圖像上，
∴an＋1＝an＋1，∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．
∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
兩式相減得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(1,2)，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.
∴數(shù)列{bn}是首項為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，
∴bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
(2)lg2bn＋1＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＝－n，
∴cn＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).

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5.4 數(shù)列的應用

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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