一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積1.思考(1)在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積,以及它們的展開圖,那么相應(yīng)幾何體的展開圖與其表面積有什么關(guān)系?提示相等.
(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體,它們的展開圖是什么?如何計(jì)算它們的表面積?提示展開圖如圖所示.幾何體表面積等于圍成它的各個(gè)面的面積的和.要求表面積,只需求出圍成幾何體的各個(gè)面的面積,然后求和即可.
2.填空:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各個(gè)面的面積的和,也就是展開圖的面積.3.做一做正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則它的側(cè)面積為　　　　　,表面積為　　　　　.?
二、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積1.思考(1)棱長(zhǎng)為a的正方體體積為多少?長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體的體積是多少?提示分別是a3與abc.(2)等底等高的棱柱和棱錐,它們的體積之間有什么關(guān)系?提示等底等高的棱錐體積是棱柱體積的 .(3)棱臺(tái)與棱錐有什么關(guān)系?如何求一個(gè)棱臺(tái)的體積?提示棱臺(tái)是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的,它的體積可用原棱錐體積減去截得的上部小棱錐的體積求解.
2.填空　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(1)一般地,如果棱柱的底面積是S,高是h,那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱=Sh.(2)一般地,如果棱錐的底面積是S,高是h,那么這個(gè)棱錐的體積(3)如果棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S',S,高是h,那么這個(gè)棱臺(tái)的體積V棱臺(tái)=
3.做一做如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么該正四棱柱的體積為(　　)答案:B解析:正四棱柱的體積為V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.
棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積例1如圖是一個(gè)搭建好的帳篷,它的下部是一個(gè)正六棱柱,上部是一個(gè)正六棱錐,其中帳篷的高為PO,正六棱錐的高為PO1,且PO=3PO1.當(dāng)PO1=2 m,PA1=4 m時(shí),求帳篷的表面積.分析帳篷的表面積即上部棱錐側(cè)面積與下部棱柱側(cè)面積之和.
反思感悟 求解此類問(wèn)題時(shí),首先要注意題目要求側(cè)面積還是表面積,其次觀察幾何體形狀,是已知的棱柱、棱錐、棱臺(tái),還是由這些幾何體形成的組合體,再利用公式準(zhǔn)確計(jì)算相關(guān)的面積,從而求解.
延伸探究 若把題目條件中“帳篷”改為“用某種材料制成條件中所示組合體形狀的封閉容器”,表面積為多少?
棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積例2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a.截面A1DB將正方體分成兩部分,其體積分別為V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求點(diǎn)A到平面A1BD的距離d.分析(1)首先明確截面將正方體分成的兩個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后求出V1,而V2直接用正方體的體積減去V1即得;(2)利用三棱錐的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)等積變換列出方程求解.
解:(1)截面將正方體化為兩個(gè)幾何體,其中較小部分是一個(gè)三棱錐A1-ABD,其中底面△ABD是腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形,
反思感悟 求幾何體體積的常用方法
延伸探究 若【例2】中的正方體改為長(zhǎng)方體,則對(duì)應(yīng)截面將該幾何體分成兩部分的體積之比是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論. 解:不妨設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面將長(zhǎng)方體分為兩個(gè)幾何體,其中較小部分是一個(gè)三棱錐A1-ABD,底面△ABD是兩直角邊分別為a,b的直角三角形,其面積
與正棱柱、正棱錐有關(guān)的體積和表面積問(wèn)題例3一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3 cm,側(cè)棱長(zhǎng)為5 cm,則它的體積為　　　　cm3,表面積為　　　　cm2.?分析由已知求得正四棱錐的底面積與高,代入棱錐體積公式可得體積;求出側(cè)面上的高,結(jié)合條件可求表面積.
反思感悟 正棱錐的性質(zhì)如下:①正棱錐的各側(cè)棱都相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高;②棱錐的高、斜高及斜高在底面的射影組成一個(gè)直角三角形;③棱錐的斜高、側(cè)棱及底邊邊長(zhǎng)的一半組成一個(gè)直角三角形;④棱錐的高、側(cè)棱及側(cè)棱在底面的射影組成一個(gè)直角三角形;⑤頂點(diǎn)在底面的射影為底面(正多邊形)的中心;⑥棱錐的底面及平行于底面的截面為相似的多邊形.
變式訓(xùn)練正四棱臺(tái)(由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái))的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2 cm和6 cm,兩底面之間的距離為2 cm,則該四棱臺(tái)的側(cè)面積為　　　　　.?
解析:如圖,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中點(diǎn)E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1為側(cè)面等腰梯形的高,過(guò)E1作E1H垂直于OE,垂足為H,OO1=2 cm,O1E1=1 cm,OE=3 cm,∴HE=2 cm.
1.若正方體的表面積為96,則正方體的體積為(　　)答案:B解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.
2.已知高為3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖所示),則三棱錐B'-ABC的體積為(　　)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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