變量與函數(shù)
大千世界處在不停的運動變化之中,如何 來研究這些運動變化并尋找規(guī)律呢?數(shù)學上常用變量與函數(shù)來刻畫各種運動變化.
問題1：下圖是某日的氣溫的變化圖，看圖回答：
1．這天的6時、10時和14時的氣溫分別是多少？任意給出這天中的某一時刻，你能否說出這一時刻的氣溫是多少嗎？2．這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？3．這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？
從圖中我們可以看出，隨著時間t(時)的變化，相應的氣溫T(℃)也隨之變化.
觀察上表，說一說隨著年齡的增長，小蕾的體重是如何變化的？在哪一段時間內體重的增加較快？
問題2：小蕾在過14歲生日的時候，看到了爸爸為她記錄的各周歲時的體重（kg），如下表：
從圖中我們可以看出，隨著周歲的變化，相應的體重也隨之變化.
問題3：收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標刻的．下面是一些對應的數(shù)值：
細心的同學可能會發(fā)現(xiàn)： l 與 f 的乘積是一個定值，即 ?說明波長越大，頻率f 就____________
l ·f = 30000
利用這個關系式，你能算出半徑為1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm時圓的面積嗎？
問題4：圓的面積隨著半徑的增大而增大，如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與r之間滿足下列關系：S=πr2.
問題：圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與r之間滿足下列關系：S=____．利用這個關系式，試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時圓的面積，并將結果填入下表：由此可以看出，圓的半徑越大，它的面積就______．
在上述問題中分別有幾個量？分別指出每個問題中的各個量.
在第1個問題中，有兩個變量，一個是時間，另一個是溫度，溫度隨著時間的變化而變化.在第2個問題中，有兩個變量，一個是年齡，另一個是體重，體重隨著年齡的變化而變化.
在第3個問題中，λ和f是變量，而它們的積等于300 000，是常量.在第4個問題中，S和r都是變量，π和2都是常量.
常量：在某一變化過程中始終保持不變的量稱為常量.變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量.
大家舉例說一說哪些是常量和變量？
一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，假設為x與y，對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是因變量，此時也稱y是x的函數(shù).
日常生活和自然界中函數(shù)關系的例子很多。請大家舉一些函數(shù)關系的例子
上述的第3個問題中，λf=300 000，給出一個f的值，變量λ有唯一值與之對應，f是自變量，λ是因變量（λ是f的函數(shù)）.上述的第4個問題中，S=πr2，給出變量r的一個值，便可以得到變量S的唯一值和它對應，r是自變量，S是因變量（S是r的函數(shù)）.
練一練：判斷下列變量關系是不是函數(shù)？
(1)等腰三角形的底邊長與面積
判斷是不是函數(shù)，我們可以看它的數(shù)學式子中的變量之間是否滿足函數(shù)的定義
表示函數(shù)關系的方法通常有三種：(1)解析法，如問題3中的f=300000/λ，問題4中的S=πr2，這些表達式稱為函數(shù)的關系式．(2)列表法，如問題2中的小蕾的體重表，問題3中的波長與頻率關系表．(3)圖象法，如問題1中的氣溫曲線．
1、先認真審題，根據(jù)題意找出相等關系
2、按相等關系，寫出含有兩個變量的等式
3、將等式變形為用含有自變量的代數(shù)式表示函數(shù)的式子
函數(shù)的關系式是等式，通常等式的右邊是含有自變量的代數(shù)式，左邊的一個字母表示函數(shù)。例如： S=πr2 y=0.50x y＝2.4x＋0.2
例1用總長60 m的籬笆圍成矩形場地，求矩形面積S（m2）與邊l （m）之間的關系式，并指出式中的常量和變量，自變量與函數(shù).
面積和總長是常量，邊長是變量.
下列關系式中，哪些式中的y是x的函數(shù)？
（1）和（3）中的y是x的函數(shù).
求當x=5時，各個函數(shù)的函數(shù)值.
1.常量和變量在研究“某一變化過程中”時是確定的，以s=vt為例（t為時間，v為速度，s為路程）：①若速度v固定，則常量是_______，變量是_______；②若時間t固定，則常量是_______，變量是_______.
分析：①速度v固定，即在這個變化過程中v的取值保持不變，此時s隨t的變化而變化，可以取不同的數(shù)值，故v為常量，s和t為變量；②t固定，即為常量，此時s和v可以取不同的數(shù)值，是變量.解：①v，s、t；②t，s、v
2.當x=-2和x=3時，分別求出下列函數(shù)的函數(shù)值：
（1）當x=-2時，y=-1.5；當x=3時，y=11.
（2）當x=-2時，y=4；當x=3時，y=4.
2.已知變量x與y的四種關系：y=︱x︱，︱y︱=x，2x2－y=0，2x－y2=0其中y是x的函數(shù)的有_____個.
分析：依函數(shù)定義，︱y︱=x與2x－y2=0中，x每取一個大于0的值，y都有兩個與之對應，例如x=4時，︱y︱=4,有y=±4，故y不是x的函數(shù)；只有y=︱x︱和2x2－y=0中y是x的函數(shù).解：2
3.若一輛汽車以50千米/時的速度勻速行駛，則行駛的路程s（千米）與行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關系式是（ ）A.s=50＋50t B.s=50tC.s=50－50t D.以上都不對
4.下列變量間的關系不是函數(shù)關系的是（ ）A.長方形的寬一定，其長與面積B.正方形的周長與面積C.圓的半徑與面積D.等腰三角形的底邊長與面積
5.下列說法不正確的是( )A．公式V=4/3πr3中，4/3是常量，r是變量，V是πr的函數(shù)B．公式V=4/3πr3中，V是r的函數(shù)C．公式v=s/t中，v可以是變量，也可以是常量D．圓的面積S是半徑r的函數(shù)
將t=8代入s=10t+2t2 ，得s=208.所以坡長為208米.
6.一架雪橇沿一斜坡滑下，經(jīng)過時間t （秒）滑下的路程s（米）由下式給出:s=10t+2t2 .假如從坡頂滑到坡底的時間為8秒，試問坡長為多少？
1.關于函數(shù)的定義的理解應注意兩個方面，其一是變化過程中有且只有兩個變量，其二是對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應.

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17.1 變量與函數(shù)

版本： 華師大版

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