【考綱要求】
1. 了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；
2. 利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1．分式
設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.
2.分式的基本性質(zhì)
（M為不等于零的整式）.
3．最簡(jiǎn)分式
分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).
要點(diǎn)詮釋：
分式的概念需注意的問(wèn)題：
(1)分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；
（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；
（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．
（4）分式有無(wú)意義的條件：在分式中，
①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B≠0．
②當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0．
③當(dāng)B≠0且A = 0時(shí)，分式的值為零．
考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算
1．基本運(yùn)算法則
分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:
（1）加減運(yùn)算 ±=
同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.
；
異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.
（2）乘法運(yùn)算
兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.
（3）除法運(yùn)算
兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.
（4）乘方運(yùn)算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分別乘方．
2．零指數(shù) .
3．負(fù)整數(shù)指數(shù)
4．分式的混合運(yùn)算順序
先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．
5．約分
把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
6．通分
根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．
要點(diǎn)詮釋：
約分需明確的問(wèn)題：
(1)對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；
(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．
通分注意事項(xiàng)：
(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．
(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．
(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：
最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；
最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.
考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用
1．分式方程的概念
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．
3．分式方程的增根問(wèn)題
驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．
4．分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問(wèn)題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．
要點(diǎn)詮釋：
解分式方程注意事項(xiàng)：
（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；
（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．
列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：
(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；
(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；
(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；
(6)答——答題．
考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)
1.；
2.；
3.；
4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；
5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.
6.若，則.
要點(diǎn)詮釋：
與的異同點(diǎn)：
（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但與都是非負(fù)數(shù)，即，．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而
（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，
而.
考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算
1．二次根式的乘除運(yùn)算
(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).
(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；
2．二次根式的加減運(yùn)算
先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；
3．二次根式的混合運(yùn)算
(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；
(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.
要點(diǎn)詮釋：
怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.
1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；
2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來(lái)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；
3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過(guò)程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).
例如，沒(méi)有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，，通過(guò)約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；
(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.
如：，利用了平方差公式.
所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.
【典型例題】
類型一、分式的意義
1．使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（ ）
A. B. C.且 D.一切實(shí)數(shù)
【答案】C；
【解析】解不等式組得且，故選C．
【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式有意義，就是要使代數(shù)式中的分式的分母不為零；代數(shù)式中的二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即需要中的x0；分母中的2x-10.
舉一反三：
【變式】當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義?值為零?
【答案】
當(dāng)時(shí)，分式有意義，即時(shí)，分式有意義.
當(dāng)且時(shí)，分式值為零，
解得，且，即時(shí)，分式值為零.
類型二、分式的性質(zhì)
2．已知,求下列各式的值.
(1); (2).
【答案與解析】
(1)因?yàn)?所以.
即.所以.
(2),
所以.
【點(diǎn)評(píng)】觀察(1)和已知條件可知,將已知等式兩邊分別平方再整理,即可求出(1)的值;對(duì)于(2),直接求值很困難,根據(jù)其特點(diǎn)和已知條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求出(2)的值.
舉一反三：
【變式】已知求的值.
【答案】 由得
所以即.
所以.
類型三、分式的運(yùn)算
3．計(jì)算
【答案與解析】
【點(diǎn)評(píng)】異分母分式相加減，先根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減.在通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母與最簡(jiǎn)公分母所差的因式.運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)形式.
舉一反三：
【變式】已知，化簡(jiǎn)求值：
【答案】原式
類型四、分式方程及應(yīng)用
4．如果方程 有增根, 那么增根是 .
【答案與解析】
因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?由分母或可得.所以增根是.
答案:
【點(diǎn)評(píng)】使分母為0的根是增根.
5．為創(chuàng)建“國(guó)家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，根據(jù)市政建設(shè)的需要，須在60天內(nèi)完成工程．現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)工程．經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天，甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天，甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500元，乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000元．
（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？
（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用．
【答案與解析】
（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天．
根據(jù)題意得：．
方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），
即x2﹣35x﹣750=0．
解之，得x1=50，x2=﹣15．
經(jīng)檢驗(yàn)，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合題意，應(yīng)舍去．
∴當(dāng)x=50時(shí)，x+25=75．
答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需50天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需75天．
（2）此問(wèn)題只要設(shè)計(jì)出符合條件的一種方案即可．
方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．（
所需費(fèi)用為：2500×50=125000（元）．
方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成．
所需費(fèi)用為：（2500+2000）×30=135000（元）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程在工程問(wèn)題中的應(yīng)用．分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．工程問(wèn)題的基本關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間．
（1）如果設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，那么由“乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天”，得出乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天．再根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天”，可知等量關(guān)系為：甲工程隊(duì)30天完成該工程的工作量+乙工程隊(duì)30天完成該工程的工作量=1．
（2）首先根據(jù)（1）中的結(jié)果，排除在60天內(nèi)不能單獨(dú)完成該工程的乙工程隊(duì)，從而可知符合要求的施工方案有兩種：方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成．針對(duì)每一種情況，分別計(jì)算出所需的工程費(fèi)用．
舉一反三：
【變式】萊蕪盛產(chǎn)生姜，去年某生產(chǎn)合作社共收獲生姜200噸，計(jì)劃采用批發(fā)和零售兩種方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，批發(fā)每天售出6噸．
（1）受天氣、場(chǎng)地等各種因素的影響，需要提前完成銷售任務(wù)．在平均每天批發(fā)量不變的情況下，實(shí)際平均每天的零售量比原計(jì)劃增加了2噸，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)．那么原計(jì)劃零售平均每天售出多少噸？
（2）在（1）的條件下，若批發(fā)每噸獲得利潤(rùn)為2000元，零售每噸獲得利潤(rùn)為2200元，計(jì)算實(shí)際獲得的總利潤(rùn)．
【答案】
（1）設(shè)原計(jì)劃零售平均每天售出x噸．
根據(jù)題意，得，
解得x1=2，x2=﹣16．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合題意，舍去．
答：原計(jì)劃零售平均每天售出2噸．
（2）．
實(shí)際獲得的總利潤(rùn)是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．
類型五、二次根式的定義及性質(zhì)
6．當(dāng)x取何值時(shí)，的值最??？最小值是多少？
【答案與解析】
∵
∴，
∴當(dāng)9x+1=0，即時(shí)，有最小值，最小值為3.
【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性，即≥0（a≥0）.
由二次根式的非負(fù)性可知的最小值為0，因?yàn)?是常數(shù)，
所以的最小值為3.
類型六、二次根式的運(yùn)算
7．計(jì)算：；
【答案與解析】
原式
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí)一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的形式后再運(yùn)算．

相關(guān)試卷

05中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）：

這是一份05中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)），共5頁(yè)。

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)43總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)）珍藏版：

這是一份（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)43總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)）珍藏版，文件包含中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)--鞏固練習(xí)基礎(chǔ)doc、中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)--知識(shí)講解基礎(chǔ)doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁(yè)， 歡迎下載使用。

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)37中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似（基礎(chǔ)）珍藏版：

這是一份（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)37中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似（基礎(chǔ)）珍藏版，共21頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)19中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合（基礎(chǔ)）珍藏版

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)19中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合（基礎(chǔ)）珍藏版
（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)07總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)）珍藏版

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)07總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)）珍藏版
（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)06總復(fù)習(xí)：分式與二次根式（提高）珍藏版

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)06總復(fù)習(xí)：分式與二次根式（提高）珍藏版
（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)01總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)（基礎(chǔ)）珍藏版

（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)01總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)（基礎(chǔ)）珍藏版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部