單元測試


參考答案與試題解析


一．選擇題（共10小題）


1．（2019·西安市鐵一中學(xué)初二期中）若分式的值為0，則x的值為（ ）


A．0B．1C．﹣1D．±1


【答案】B


【解析】根據(jù)分式值為0的條件，分子為0分母不為0列式進(jìn)行計(jì)算即可得.


【詳解】∵分式的值為零，


∴，


解得：x=1，


故選B．


【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0分母不為0是解題的關(guān)鍵.


2．（2020·湖北省初三零模）若分式有意義，則x的取值范圍是


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】分析：根據(jù)分母不為零，即求解即可.


詳解：由題意得，


，


∴x≠.


故選B.


點(diǎn)睛：本題考查了分式有意義的條件，熟記分母≠0時(shí)分式有意義是解答本題的關(guān)鍵.


3．（2019·陜西省西北大學(xué)附中初二期中）關(guān)于x的方程無解，則m的值為（ ）


A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5


【答案】A


【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程無解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故選A．


4．（2020·棗莊市薛城舜耕中學(xué)初二月考）分式方程的解為（ ）


A．B．C．D．無解


【答案】D


【解析】分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．


詳解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是增根，分式方程無解．


故選D．


點(diǎn)睛：本題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個條件．


5．（2020·成都市泡桐樹中學(xué)初二期中）下列分式中是最簡分式的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】【詳解】A．=，故A選項(xiàng)錯誤．


B．=，能進(jìn)行化簡，故B選項(xiàng)錯誤．


C．是最簡分式，不能化簡，故C選項(xiàng)正確．


D．=﹣1，故D選項(xiàng)錯誤．


故選C．


6．（2020·浙江省初三期中）解分式方程+1=0，正確的結(jié)果是（ ）


A．x=0B．x=1C．x=2D．無解


【答案】A


【解析】先去分母化為整式方程,再求解即可.


【詳解】+1=0，


1+x-1=0，


x=0，


經(jīng)檢驗(yàn)：x=0是原方程的根，


故選A.


考點(diǎn)：解分式方程.


7．（2019·河南省初二期中）計(jì)算的結(jié)果是（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】試題解析：原式


故選A.


8．（2019·哈爾濱市第十七中學(xué)初三一模）方程＝的解為( )


A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5


【答案】C


【解析】方程兩邊同乘（x-1）(x+3)，得


x+3-2(x-1)=0，


解得：x=5，


檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，（x-1）(x+3)≠0，


所以x=5是原方程的解，


故選C.


9．（2019·云南省初三學(xué)業(yè)考試）施工隊(duì)要鋪設(shè)1000米的管道，因在中考期間需停工2天，每天要比原計(jì)劃多施工30米才能按時(shí)完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，所列方程正確的是（ ）


A．=2B．=2


C．=2D．=2


【答案】A


【解析】分析：設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則實(shí)際每天施工（x+30）米，根據(jù)：原計(jì)劃所用時(shí)間﹣實(shí)際所用時(shí)間=2，列出方程即可．


詳解：設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則實(shí)際每天施工（x+30）米，


根據(jù)題意，可列方程：=2，


故選A．


點(diǎn)睛：本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．


10．（2019·遼寧省營口市教育局初三月考）某服裝加工廠計(jì)劃加工400套運(yùn)動服，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，工作效率比原計(jì)劃提高了20%，結(jié)果共有了18天完成全部任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天加工x套運(yùn)動服，根據(jù)題意可列方程為


A．B．


C．D．


【答案】B


【解析】試題分析：由設(shè)原計(jì)劃每天加工x套運(yùn)動服，得采用新技術(shù)前用的時(shí)間可表示為：天，采用新技術(shù)后所用的時(shí)間可表示為：天。根據(jù)關(guān)鍵描述語：“共用了18天完成任務(wù)”得等量關(guān)系為：采用新技術(shù)前用的時(shí)間+采用新技術(shù)后所用的時(shí)間=18。從而，列方程。故選B。


二、填空題


11．（2019·河南省初二期中）分式的值為0，那么x的值為_____．


【答案】3


【解析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．


【詳解】解：由題意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，


解得x＝3．


故答案為：3．


【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：分母不為零這個條件不能少．


12．（2019·山東省初二期末）當(dāng)____________時(shí),解分式方程會出現(xiàn)增根．


【答案】2


【解析】分析：分式方程的增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的根，且使分式方程的分母為0的未知數(shù)的值．


詳解：分式方程可化為：x-5=-m，


由分母可知，分式方程的增根是3，


當(dāng)x=3時(shí)，3-5=-m，解得m=2，


故答案為：2．


點(diǎn)睛：本題考查了分式方程的增根．增根問題可按如下步驟進(jìn)行：


①讓最簡公分母為0確定增根；


②化分式方程為整式方程；


③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．


13．（2020·燈塔市第二初級中學(xué)初三一模）關(guān)于x的方程=1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是________ ．


【答案】m＜﹣2且m≠﹣4


【解析】首先根據(jù)=1，可得x=-m-2；然后根據(jù)關(guān)于x的方程=1的解是正數(shù)，求出m的取值范圍即可．


【詳解】∵=1，


∴x=-m-2，


∵關(guān)于x的方程=1的解是正數(shù)，


∴-m-2＞0，


解得m＜-2，


又∵x=-m-2≠2，


∴m≠-4，


∴m的取值范圍是：m＜-2且m≠-4．


故答案為：m＜-2且m≠-4．


【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．


14．（2019·阜寧縣碩集實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二月考）的最簡公分母是_______．


【答案】


【解析】確定最簡公分母的方法是：


（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；


（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；


（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．


【詳解】解：的分母分別是xy、4x3、6xyz，故最簡公分母是．


故答案為：．


【點(diǎn)睛】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．


15．（2019·河南省初二期中）當(dāng)y=x+時(shí)，的值是_________．


【答案】-3


【解析】


=


=


∵y=x+，


∴x-y=,


∴原式==-3.


16．（2019·山東省初二期中）已知，則＝______.


【答案】1


【解析】∵=4,


∴,


∴a+b=4ab,


∴====1


故答案為:1.





三、解答題


17．（2019·全國初二單元測試）計(jì)算：（1）；


（2）；


（3）；


（4）．


【答案】(1) ;(2) ；（3）2x+3；(4)4.


【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算即可解出，加減需通分，乘除需約分.


【詳解】（1）；


（2）；


（3）；


（4）．


【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運(yùn)算法則.


18．（2020·浙江省初二期末）先化簡，再求值：，其中x=3．


【答案】


【解析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分得到最簡結(jié)果，將x的值代入計(jì)算即可求出值．


【詳解】解：原式=





．


當(dāng)x=3時(shí)，原式=．


19．（2020·福建省初二一模）已知，且，求：的值．


【答案】-3


【解析】先算乘法，再根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后變形后代入，即可求出答案．


【詳解】


=


=


∵


∴


∴原式==?1?1?1=-3．


故答案：-3


【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡求值，首先算乘法，然后再根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后變形后代入，即可求出答案


20．（2017·肥城市龍山中學(xué)初二期中）某火車站北廣場將于2018年底投入使用，計(jì)劃在廣場內(nèi)種植A、B兩種花木共6600棵，若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600棵.


（1）A、B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵？


（2）如果園林處安排26人同時(shí)種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應(yīng)分別安排多少人種植A花木和B花木，才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)？


【答案】（1）A 4200棵，B 2400棵；（2）A 14人，B 12人.


【解析】試題分析：（1）首先設(shè)B花木數(shù)量為x棵，則A花木數(shù)量是（2x-600）棵，由題意得等量關(guān)系：種植A，B兩種花木共6600棵，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；


（2）首先設(shè)安排a人種植A花木，由題意得等量關(guān)系：a人種植A花木所用時(shí)間=（26-a）人種植B花木所用時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．


試題解析：（1）設(shè)B花木數(shù)量為x棵，則A花木數(shù)量是（2x-600）棵，由題意得：


x+2x-600=6600，


解得：x=2400，


2x-600=4200，


答：B花木數(shù)量為2400棵，則A花木數(shù)量是4200棵；


（2）設(shè)安排a人種植A花木，由題意得：


，


解得：a=14，


經(jīng)檢驗(yàn)：a=14是原分式方程的解，


26-a=26-14=12，


答：安排14人種植A花木，12人種植B花木．


【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．注意不要忘記檢驗(yàn)．





21．（2020·四川省瀘縣五中初三月考）某青春黨支部在精準(zhǔn)扶貧活動中，給結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種．已知乙種樹苗的價(jià)格比甲種樹苗貴10元，用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同．


（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格各是多少元？


（2）在實(shí)際幫扶中，他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵，此時(shí)，甲種樹苗的售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%，乙種樹苗的售價(jià)不變，如果再次購買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過1500元，那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗？


【答案】（1）甲種樹苗每棵的價(jià)格是30元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是40元；（2）他們最多可購買11棵乙種樹苗．


【解析】（1）可設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是（x+10）元，根據(jù)等量關(guān)系：用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同，列出方程求解即可；


（2）可設(shè)他們可購買y棵乙種樹苗，根據(jù)不等關(guān)系：再次購買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過1500元，列出不等式求解即可．


【詳解】（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是（x+10）元，


依題意有 ，


解得：x=30，


經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，


x+10=30+10=40，


答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是30元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是40元；


（2）設(shè)他們可購買y棵乙種樹苗，依題意有


30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，


解得y≤11，


∵y為整數(shù)，


∴y最大為11，


答：他們最多可購買11棵乙種樹苗．


【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系與不等關(guān)系列出方程或不等式是解決問題的關(guān)鍵.


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