第1課時 圓周角定理及推論








1．理解圓周角的概念，學(xué)會識別圓周角；


2．了解圓周角與圓心角的關(guān)系，能夠理解和掌握圓周角定理及推論，并進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明(重點(diǎn)，難點(diǎn))．





一、情境導(dǎo)入


你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？第六屆東亞四強(qiáng)賽于2015年在武漢舉行，共有來自亞洲的8支球隊(duì)參加賽事，共進(jìn)行24場比賽決定冠軍隊(duì)伍．





比賽如圖所示，甲隊(duì)員在圓心O處，乙隊(duì)員在圓上C處，丙隊(duì)員帶球突破防守把球傳給乙，乙依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識解釋一下嗎？


二、合作探究


探究點(diǎn)一：圓周角定理


【類型一】 利用圓周角定理求角


如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于( )





A．25°


B．30°


C．35°


D．50°


解析：本題考查同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故選A.


方法總結(jié)：在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題


【類型二】 同弦所對圓周角中的分類討論思想


已知⊙O的弦AB長等于⊙O的半徑，求此弦AB所對的圓周角的度數(shù)．


解析：弦AB的長恰好等于⊙O的半徑，則△OAB是等邊三角形，則∠AOB＝60°.而弦AB所對的弧有兩段，一段是優(yōu)弧，一段是劣弧，因此本題要分類討論．


解：分下面兩種情況：如圖①所示，連接OA，OB，在⊙O上任取一點(diǎn)C，連接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝eq \f(1,2)∠AOB＝30°.即弦AB所對的圓周角等于30°.





如圖②所示，連接OA，OB，在劣弧上任取一點(diǎn)D，連接AD，OD，BD，則∠BAD＝eq \f(1,2)∠BOD，∠ABD＝eq \f(1,2)∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝eq \f(1,2)(∠BOD＋∠AOD)＝eq \f(1,2)∠AOB.∵AB的長等于⊙O的半徑，∴△AOB為等邊三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所對的圓周角為150°.


綜上所述，弦AB所對的圓周角的度數(shù)是30°或150°.


方法總結(jié)：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．要注意的是弦AB所對的圓周角有兩種情況，需分類討論，解題時可分別作圖，結(jié)合圖形求解，以免漏解．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第3題


探究點(diǎn)二：圓周角定理的推論


【類型一】 利用圓周角定理的推論1解題


如圖所示，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正切值等于( )





A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C．2 D.eq \f(1,2)


解析：根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等來求解，∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝ eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2).故選D.


方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意與三角函數(shù)的結(jié)合．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題


【類型二】 利用圓周角定理的推論2解題


如圖所示，已知△ABC的頂點(diǎn)在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.





解析：連接BE構(gòu)造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要證∠BAE＝∠CAD，只要證出它們的余角∠E與∠C相等，而∠E與∠C是同弧AB所對的圓周角．


證明：連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.


方法總結(jié)：涉及直徑時，通常是利用“直徑所對的圓周角是直角”來構(gòu)造直角三角形，并借助直角三角形的性質(zhì)來解決問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題


三、板書設(shè)計(jì)


1．圓周角的概念


2．圓周角定理


一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．


3．圓周角定理的推論


推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等．


推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．





教學(xué)過程中，經(jīng)歷圓周角定理及其推論的探究，使學(xué)生掌握圓周角的相關(guān)性質(zhì)；配合練習(xí)，鞏固所學(xué)知識，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用來提升學(xué)生的思維能力.

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初中數(shù)學(xué)滬科版九年級下冊電子課本

24.3.1 圓周角定理

版本： 滬科版

年級： 九年級下冊

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