第3課時 圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系








1．結(jié)合圖形了解圓心角的概念，掌握圓心角的相關(guān)性質(zhì)；


2．能夠發(fā)現(xiàn)圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系，并會初步運用這些關(guān)系解決有關(guān)問題(重點，難點)．








一、情境導(dǎo)入


人類為了獲得健康和長壽，經(jīng)過不斷的實踐探索，到十九世紀(jì)末才提出“生命在于運動”的口號．要健康長壽，更重要的是每天要攝取均衡的營養(yǎng)包括蛋白質(zhì)、糖類、脂肪、維生素、礦物質(zhì)、纖維和水．根據(jù)中國營養(yǎng)學(xué)會公布的“中國居民平衡膳食指南”，每人每日攝取量如圖．你能求出各扇形的圓心角嗎？


二、合作探究


探究點：圓心角定理及其推論


【類型一】 圓心角與弧的關(guān)系


如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分點，∠AOE＝60°，則∠COE的大小是( )





A．40°


B．60°


C．80°


D．120°


解析：∵C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分點，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝eq \f(1,3)×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故選C.


方法總結(jié)：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題


【類型二】 圓心角與弦、弦心距間的關(guān)系


如圖所示，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，則∠A＝________．





解析：由eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，得這兩條弧所對的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因為∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的內(nèi)角和定理可得∠A的度數(shù)為40°.故答案為40°.


方法總結(jié)：在應(yīng)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理時，注意根據(jù)具體的需要選擇有關(guān)部分，本題只需由兩弧相等，得到兩弦相等就可以了．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第1題


【類型三】 圓心角定理及其推論的應(yīng)用








如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是OA，OB的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N.求證：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


解析：根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，可先證明它們所對的圓心角相等或它們所對的弦相等．


證法1：如圖所示，連接OC，OD，則OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分別是OA，OB的中點，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


證法2：如圖①所示，分別延長CM，DN交⊙O于點E，F(xiàn).∵OA＝OB，OM＝eq \f(1,2)OA，ON＝eq \f(1,2)OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq \(CE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵)).又∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up8(︵))，eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up8(︵))，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


圖①


圖②








證法3：如圖②所示，連接AC，BD.由證法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


方法歸納：在同圓或等圓中，要證明圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中的某一組量相等，通常是轉(zhuǎn)化成證明另外三組量中的某一組量相等．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第9題


三、板書設(shè)計


1．圓心角定理


在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．


2．圓心角定理推論


在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及這兩個角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等．





教學(xué)過程中，向?qū)W生強調(diào)弧、弦、圓心角及弦心距之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探究時，要鼓勵學(xué)生大膽猜想，使其體會數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的魅力之處，進而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

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初中數(shù)學(xué)滬科版九年級下冊電子課本

24.2.3 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

版本： 滬科版

年級： 九年級下冊

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