1．會(huì)推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；(重點(diǎn))


2．靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．(難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入


計(jì)算：


(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；


(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.


由上述計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？


二、合作探究


探究點(diǎn)：完全平方公式


【類型一】 直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算


利用完全平方公式計(jì)算：


(1)(5－a)2；


(2)(－3m－4n)2；


(3)(－3a＋b)2.


解析：直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．


解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；


(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；


(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.


方法總結(jié)：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．


【類型二】 利用完全平方公式求字母的值


如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．


解析：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值．


解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.


方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．


【類型三】 靈活運(yùn)用完全平方公式的變式求代數(shù)式的值


若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.


(1)求eq \f(1,x2)＋eq \f(1,y2)的值；


(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．


解析：(1)先去括號(hào)，再整體代入即可求出答案；(2)先變形，再整體代入，即可求出答案．


解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，∴4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴eq \f(1,x2)＋eq \f(1,y2)＝eq \f(x2＋y2,x2y2)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,x2y2)＝eq \f(9－2×2,22)＝eq \f(5,4)；


(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.


方法總結(jié)：所求的展開式中都含有xy或x＋y時(shí)，我們可以把它們看作一個(gè)整體代入到需要求值的代數(shù)式中，整體求解．


【類型四】 完全平方公式的幾何背景


我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此恒等式是( )





A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)


B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2


C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2


D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2


解析：空白部分的面積為(a－b)2，還可以表示為a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故選C.


方法總結(jié)：通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．


【類型五】 與完全平方公式有關(guān)的探究問題


下表為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a＋b)n(n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a＋b)6展開式中所缺的系數(shù)．





(a＋b)1＝a＋b，


(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，


(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，


則(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.


解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各項(xiàng)展開式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于(a＋b)n－1的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得(a＋b)4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；(a＋b)5的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1.故填20.


方法總結(jié)：對(duì)于規(guī)律探究題，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵．





三、板書設(shè)計(jì)


1．完全平方公式：


兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍．


(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.


2．完全平方公式的應(yīng)用





本節(jié)課通過多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)出完全平方公式，讓學(xué)生自己總結(jié)出完全平方公式的特征，注意不要出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.為幫助學(xué)生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央．教學(xué)中，教師可通過判斷正誤等習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解記憶

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

6 完全平方公式

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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