第三講　二項(xiàng)式定理
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一　二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二項(xiàng)式系數(shù)__，式中的__Can－kbk__叫做二項(xiàng)展開式的__通項(xiàng)__，用Tk＋1表示，即通項(xiàng)為展開式的第__k＋1__項(xiàng)：Tk＋1＝__Can－kbk__.
知識(shí)點(diǎn)二　二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為__n＋1__.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為__n__.
(3)字母a按__降冪__排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1直到零；字母b按__升冪__排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增加1直到n.
知識(shí)點(diǎn)三　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)0≤k≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是__C＝C__.
(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，中間項(xiàng)最大．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__.
重要結(jié)論
1．二項(xiàng)式定理中，通項(xiàng)公式Tk＋1＝Can－kbk是展開式的第k＋1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)．
2．(1)二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，該項(xiàng)的系數(shù)還與a，b有關(guān)．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最值和增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值．
雙基自測(cè)
題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　AD　)
A．Can－kbk是二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng)
B．(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)
C．(x－1)n的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為2n
D．在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng)
題組二　走進(jìn)教材
2．(P31例2(2))若(x＋)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為(　B　)
A．10 B．20
C．30 D．120
[解析]　二項(xiàng)式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·()k＝Cx6－2k，當(dāng)6－2k＝0，即當(dāng)k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝C＝20.
3．(P41B組T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8.
題組三　考題再現(xiàn)
4．(2019·天津)(2x－)8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__28__.
[解析]　二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C(2x)8－k·(－)k＝(－1)kC28－k2－3kx8－4k＝(－1)kC28－4kx8－4k，令8－4k＝0，得k＝2，即T3＝(－1)2×C×20＝C＝28，故常數(shù)項(xiàng)為28.
5．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)(1＋)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　C　)
A．15 B．20
C．30 D．35
[解析]　(1＋x)6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cxr，所以(1＋)(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30，故選C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　二次展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用——多維探究
角度1　求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)
例1 (1)(2018·課標(biāo)卷Ⅲ)(x2＋)5的展開式中x4的系數(shù)為(　C　)
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)(2019·課標(biāo)Ⅲ，4)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為(　A　)
A．12 B．16
C．20 D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　C　)
A．10 B．20
C．30 D．60
[解析]　(1)Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝C2rx10－3r，
當(dāng)10－3r＝4時(shí)，解得r＝2，
則x4的系數(shù)為C×22＝40，選C．
(2)(1＋x)4的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，
故(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為C＋2C＝12.故選A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項(xiàng)為T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C．
另解：由乘法法則知5個(gè)因式中兩個(gè)選y項(xiàng)，兩個(gè)選x2項(xiàng)，一個(gè)選x項(xiàng)乘即可，∴x5y2的系數(shù)為CC＝30.
角度2　二項(xiàng)展開式中的含參問(wèn)題
例2 (1)(2019·湖北模擬)若二項(xiàng)式(2x＋)7的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝(　C　)
A．2 B．
C．1 D．
(2)(2019·山東棗莊二模)若(x2－a)(x＋)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　D　)
A． B．
C．1 D．2
(3)(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知二項(xiàng)式(2x－)n的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是25，則x3的系數(shù)為__240__.
[解析]　(1)Tr＋1＝C·(2x)7－r·()r＝27－rCar·.令2r－7＝3，則r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故選C．
(2)由題意得C－aC＝30，解得a＝2，選D．
(3)由題意得：CC＝25，解得n＝6.所以Tr＋1＝C(2x)n－r(－)r＝C26－r(－1)rx6－r, 令6－r＝3，解得：r＝2.所以x3的系數(shù)為C26－2(－1)2＝240.
名師點(diǎn)撥 ?
求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或其系數(shù)，一般是化為通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出r，代回通項(xiàng)公式即可．
〔變式訓(xùn)練1〕
(1)(角度1)(2018·浙江，14)二項(xiàng)式(＋)8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是__7__.
(2)(角度2)(2019·福州模擬)設(shè)n為正整數(shù)，(x－)n的展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　B　)
A．－112 B．112
C．－60 D．60
(3)(角度1)(2019·重慶模擬)(x－y)(x＋y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為(　B　)
A．－10 B．－5
C．5 D．10
[解析]　(1)Tr＋1＝C()8－r· ()r＝Cx，由8－4r＝0得r＝2，故常數(shù)項(xiàng)為T3＝C＝7.
(2)依題意得，n＝8，所以展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 T3＝C(－2)2＝112.
(3)(x＋y)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，
∴(x－y)(x＋y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為C×1＋(－1)×C＝－5.故選B．
考點(diǎn)二　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)的和——師生共研
例3 (1)(2019·河北衡水中學(xué)五調(diào))已知(2x2－)n(n∈N)的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是(　A　)
A．－84 B．84
C．－24 D．24
(2)(2019·河北邯鄲模擬)在(x＋)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(　C　)
A．15 B．45
C．135 D．405
(3)(2020·遼寧省朝陽(yáng)市質(zhì)量檢測(cè))設(shè)(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，則a0＋a2＋a4＋a6＝__8__.
[解析]　(1)由題意知2n＝128，解得n＝7，
∴Tr＋1＝C(2x2)7－r(－)r＝(－1)r27－rCx14－3r，
由14－3r＝－1，得r＝5，
∴含項(xiàng)的系數(shù)為(－1)522C＝－84.選A．
(2)由題意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r()r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2,32C＝135，選C．
(3)由題意，令x＝2得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，
兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝8.故答案為8.
[引申]在本例(3)中，(1)a0＝__2__；
(2)a1＋a3＋a5＝__－8__；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0__；
(4)a2＝__5__.
[解析]　記f(x)＝(1＋x2)(2－x)4，
則(1)a0＝f(1)＝2.
(2)a1＋a3＋a5＝＝＝－8；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝f(2)·f(0)＝0；
(4)令x－1＝t，則x＝t＋1，
∴a2為(t2＋2t＋2)(1－t)4展開式中t2項(xiàng)的系數(shù)，又(1－t)4的通項(xiàng)為C(－t)r，
∴a2＝C＋2×(－1)C＋2C＝5.
名師點(diǎn)撥 ?
賦值法的應(yīng)用
(1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．
(2)對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，
奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
〔變式訓(xùn)練2〕
(1)(2020·黃岡質(zhì)檢)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝(　C　)
A．284 B．356
C．364 D．378
(2)(2020·湖南婁底期末)已知(x3＋)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，且各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中x7的系數(shù)為(　C　)
A．20 B．30
C．40 D．50
[解析]　(1)令x＝0，則a0＝1；令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36①；令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1②.①，②兩式左、右分別相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.
(2)因?yàn)?x3＋)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則2n＝32，解得n＝5，所以二項(xiàng)式為(x3＋)5.因?yàn)?x3＋)5展開式各項(xiàng)系數(shù)和為243，令x＝1，代入可得(1＋a)5＝243＝35，解得a＝2，所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x3)5－r·()r＝2r·Cx15－4r，所以當(dāng)展開式為x7時(shí)，即x15－4r＝x7，解得r＝2，則展開式的系數(shù)為22·C＝4×10＝40.故選C．
考點(diǎn)三　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用——多維探究
例4 角度1　整除問(wèn)題
(1)設(shè)a∈Z，且0≤a

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