第三講　等比數(shù)列及其前n項和
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識梳理·雙基自測

知識點一　等比數(shù)列的概念
(1)等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列__從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)__，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的__公比__，通常用字母__q__表示．
符號語言：__＝q__(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么__G__叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝__ab__.
注意：任意兩數(shù)的等差中項都唯一存在；但只有兩個數(shù)滿足ab>0時，a、b才有等比中項，且有互為相反數(shù)的兩個．
知識點二　等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝__a1qn－1__＝__amqn－m__.
(2)前n項和公式：Sn＝
知識點三　等比數(shù)列的主要性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．
(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．
(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和{}(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．
(4)當q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列．當q＝－1且k為偶數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．
(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性
①滿足或時，{an}是遞增數(shù)列．
②滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．
③當時，{an}為常數(shù)列．
④當q0(n∈N*)，則{logaan}(a>0且a≠1)成等差數(shù)列，反之亦然．
(6)若{an}是等差數(shù)列，則{aan}(a>0，a≠1)成等比數(shù)列，反之亦然．
(7)三個數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)三數(shù)為，b，bq，四個數(shù)成等比數(shù)列且公比大于0時，可設(shè)四個數(shù)為，，bq，bq3.
2．等比數(shù)列前n項和公式的推導方法__錯位相減法__.

題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列命題不正確的是(　ABCD　)
A．滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列
B．如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列
C．如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列
D．數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列
題組二　走進教材
2．(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為__12,48__.
[解析]　設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48.
3．(必修5P62B組T2改編)等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若＝，則{an}的通項公式an＝__－(－)n－1__.　
[解析]　因為＝，所以＝－，因為S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，所以q5＝－，q＝－，則an＝－1×(－)n－1＝－(－)n－1.
題組三　考題再現(xiàn)
4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　D　)
A．f　　 B．f　　
C．f　　 D．f
[解析]　本題主要考查等比數(shù)列的概念和通項公式，數(shù)學的實際應用．
由題意知十三個單音的頻率依次構(gòu)成首項為f，公比為的等比數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為{an}，則a8＝f，即第八個單音的頻率為f，故選D．
5．(2019·全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　C　)
A．16　　 B．8　　
C．4　　 D．2
[解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故選C．
6．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝____.
[解析]　解法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點突破·互動探究
考點一　等比數(shù)列的基本運算——自主練透
例1　(1)(2015·新課標全國Ⅱ，9)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　C　)
A．2　　 B．1　　
C．　　 D．
(2)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　A　)
A．96里　　 B．48里　　
C．192里　　 D．24里
(3)(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，S3＝，則S4＝____.
(4)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＝2，S4＝5S2，則a6＝__16或－16__.
[解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝，a3a5＝4(a4－1)，知q≠1，則a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4(×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即q3＝8，∴q＝2，∴a2＝，故選C．
(2)由題意得，將該人每天所走的路程依次排列，形成一個公比為的等比數(shù)列，記為{an}，其前6項和等于378，于是有＝378，解得a1＝192，所以a2＝a1＝96，即該人第二天走了96里，故選A．
(3)解法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解q＝－，所以S4＝＝＝.
解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q3＝(－)3＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋(－)＝.
解法三：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1?、?，S3＝A(1－q3)＝?、?，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝×[1－(－)4]＝.
(4)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a3＝2知：若q＝1，則S4＝8，而5S2＝20，不合題意．∴q≠1，∴＝，解得q＝2或－2.
當q＝2時，a6＝a3·q3＝16，
當q＝－2時，a6＝a3q3＝－16，即a6＝16或－16.
名師點撥　?
等比數(shù)列基本量的求法
等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應用．
特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．
考點二　等比數(shù)列的判定與證明——師生共研
例2　已知數(shù)列{an}的首項a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求證：{－1}是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{}的前n項和Tn.
[解析]　(1)記bn＝－1，
則＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以{－1}是首項為，公比為的等比數(shù)列．
所以－1＝·()n－1，
即an＝.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知，－1＝·()n－1，
即＝·()n－1＋1.
所以數(shù)列{}的前n項和
Tn＝＋n＝(1－)＋n.
名師點撥　?
等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(2)等比中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．
提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．
〔變式訓練1〕
(1)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　D　)
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列　　 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列　　 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
(2)(2018·課標全國Ⅰ，17)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.
①求b1，b2，b3；
②判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
③求{an}的通項公式．
[解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，滿足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a＝a3·a9.
(2)①由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
②{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
③由②可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
考點三　等比數(shù)列性質(zhì)的應用——多維探究
角度1　等比數(shù)列項的性質(zhì)的應用
例3　(1)(2020·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　B　)
A．－　　 B．－
C．　　 D．－或
(2)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__5__.
[解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a30)，
則由題意有解得或(舍去)，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n.
(2)由題意知Cn＝
∴T20＝C1＋C2＋C3＋C4＋…＋C19＋C20
＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220
＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220)
＝＋
＝100＋(410－1)．
[引申](1)本例中數(shù)列{Cn}的前n項和Tn＝____.
(2)本例中若Cn＝an·bn，則{Cn}的前n項和Tn＝__(n－1)·2n＋1＋2__.
[解析]　(1)當n為偶數(shù)時Tn＝＋＝＋＝＋(2n－1)．
當n為奇數(shù)時Tn＝＝＋＝＋(2n－1－1)．
∴Tn＝
(2)Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n①
則2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1②
①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
名師點撥　?
(1)若{an}，{bn}分別為等差、等比數(shù)列，則求{an·bn}前n項和時用“錯位相減法”．
(2)求奇數(shù)項與偶數(shù)項表達式不同的數(shù)列的前n項和一般用分組求和法．(注意當n為偶數(shù)時，奇數(shù)項、偶數(shù)項都是項；當n為奇數(shù)時，奇數(shù)項有項，偶數(shù)項為項)需對n進行分類討論求解．
〔變式訓練3〕
(2016·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{bn}的前n項和．
[解析]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，即＝.
因此數(shù)列{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
記{bn}的前n項和為Sn，
則Sn＝＝－.

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