第3講　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[考綱解讀]　1.理解等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并熟練掌握其推導(dǎo)方法，能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．(重點(diǎn))
3．熟練掌握等比數(shù)列的基本運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)．(難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考中的重點(diǎn)．預(yù)測(cè)2021年高考將會(huì)以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，此外，還可能會(huì)與等差數(shù)列綜合考查．題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型．

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：＝q(n≥2)，q為常數(shù)，q≠0.
(2)等比中項(xiàng)
如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；可推廣為an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
3.等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．
(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．
(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(5)當(dāng)q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列，公比為qk.當(dāng)q＝－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．
(6)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，，，…成等比數(shù)列．
(7)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則＝q.

1.概念辨析
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　)
(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(　　)
(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lg an}是等差數(shù)列．(　　)
(4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.(　　)
(5)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.小題熱身
(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5等于(　　)
A.5 B．±5
C．4 D．±4
答案　C
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q4＝＝＝4，q2＝2，所以a5＝a3q2＝2×2＝4.
(2)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是(　　)
A.a1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C.a2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
答案　D
解析　不妨設(shè)公比為q，則a＝aq4，a1·a9＝aq8，a2·a6＝aq6，當(dāng)q≠±1時(shí)，知A，B均不正確；又a＝aq6，a2·a8＝aq8，同理，C不正確；由a＝aq10，a3·a9＝aq10，知D正確．故選D.
(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.
(4)數(shù)列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝126，則n＝________.
答案　6
解析　因?yàn)閍1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故＝2.
所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，因?yàn)镾n＝126，所以＝126，所以2n＝64，故n＝6.

題型 一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

1.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%，今共有糧m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為(　　)
A.20%　369 B．80%　369
C.40%　360 D．60%　365
答案　A
解析　設(shè)“衰分比”為a，甲衰分得b石，
由題意得
解得b＝125，a＝20%，m＝369.故選A.
2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，S3＝，則S4＝________.
答案　
解析　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，又a1＝1，則an＝a1qn－1＝qn－1.
∵S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.
3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝，S3＝.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)①當(dāng)公比q＝1時(shí)，
∵a3＝，S3＝，∴an＝；
②當(dāng)q≠1時(shí)，
∵a3＝，S3＝，
∴a1q2＝，＝，
解得a1＝6，q＝－，此時(shí)an＝6·n－1.
綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝或an＝6·n－1.
(2)①當(dāng)an＝時(shí)，bn＝log2＝2，
故Tn＝2n；
②當(dāng)an＝6·n－1時(shí)，bn＝log2＝2n，
此時(shí)Tn＝2·＝n(n＋1)．
綜上所述，Tn＝2n或Tn＝n(n＋1).

1.等比數(shù)列基本運(yùn)算中的兩種常用數(shù)學(xué)思想
方程的思想
等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解．如舉例說(shuō)明2
分類(lèi)討論的思想
等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.如舉例說(shuō)明3
2.等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法
(1)等比數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公比q確定，所有關(guān)于等比數(shù)列的計(jì)算和證明，都可圍繞a1和q進(jìn)行．
(2)對(duì)于等比數(shù)列問(wèn)題，一般給出兩個(gè)條件，就可以通過(guò)列方程(組)求出a1，q.如果再給出第三個(gè)條件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”問(wèn)題.

1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1＋r－32n－3－r＝8·32n－3，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32－1＋r＝3＋r，
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴a1滿足an＝8·32n－3，
即8·32－3＝3＋r＝，即r＝－，故選B.
2.(2020·濱海新區(qū)期中)已知遞增等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1,3,9后成等差數(shù)列．
(1)求{an}的首項(xiàng)和公比；
(2)設(shè)Sn＝a＋a＋…＋a，求Sn.
解　(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a3·a5·a7＝a＝512，解得a5＝8.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a3＝，a7＝8q2，
由題設(shè)可得＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10，
解得q2＝2或.
∵{an}是遞增數(shù)列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝.
因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1＝2.
(2)由(1)得{an}的通項(xiàng)公式為
an＝a1qn－1＝2×()n－1＝()n＋1，
∴a＝[()n＋1]2＝2n＋1，
可得{a}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
因此Sn＝a＋a＋…＋a＝＝2n＋2－4.
題型 二　等比數(shù)列的判定與證明　

(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式．
解　(1)由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由題設(shè)條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
條件探究1　將本例中的條件改為“a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，且an>0”，求{an}的通項(xiàng)公式．
解　由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
因此an＝.
條件探究2　將本例中的條件改為“a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且n∈N)”．求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求出an.
解　∵an＋an－1＝anan－1，∴＋＝1，
∴＝－＋1，∴－＝－(n≥2)，
∴是以－＝－為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．
∴－＝－×(－1)n－1，∴an＝.

等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．見(jiàn)舉例說(shuō)明(2)．
(2)等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．
提醒：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．

1.已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么(　　)
A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列
B.{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列
C.{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列
D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列
答案　C
解析　an＝1，bn＝(－1)n，
則{an}，{bn}都是等比數(shù)列，但{an＋bn}不是等比數(shù)列；
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為p，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則＝·＝pq.
所以數(shù)列{an·bn}一定是等比數(shù)列.
2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足：Sn＋an＝，n＝1,2，…，n.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求Sn.
解　(1)證明：由題意，n＝1時(shí)，S1＋a1＝0，即a1＝0，n≥2時(shí)，Sn＋Sn－Sn－1＝2Sn－Sn－1＝＝－，所以Sn－＝，S1－＝－，所以數(shù)列是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，Sn－＝n－1＝－n，所以Sn＝－n.
題型 三　等比數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用　

角度1　等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)
1.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，則a5－a3＝(　　)
A.6 B．8
C．10 D．12
答案　D
解析　∵{an}是遞增的等比數(shù)列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0，可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故選D.
2.(2019·開(kāi)封模擬)已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
答案　100
解析　由log2an＋1＝1＋log2an，
可得log2an＋1＝log22an，
所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，
所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
角度2　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)
3.(2019·麗水模擬)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A.150 B．－200
C.150或－200 D．400或－50
答案　A
解析　易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故選A.
4.(2020·池州高三上學(xué)期期末)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前100項(xiàng)和為S100＝90，則其偶數(shù)項(xiàng)a2＋a4＋…＋a100為(　　)
A.15 B．30
C．45 D．60
答案　D
解析　設(shè)S＝a1＋a3＋…＋a99，則a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，又因?yàn)镾100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝90，所以3S＝90，S＝30，
所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.

1.掌握運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)解題的兩個(gè)技巧
(1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中，一般是列出a1，q滿足的方程組求解，但有時(shí)運(yùn)算量較大，如果可利用等比數(shù)列的性質(zhì)，便可減少運(yùn)算量，提高解題的速度，要注意挖掘已知和隱含的條件．
(2)利用性質(zhì)可以得到一些新數(shù)列仍為等比數(shù)列或?yàn)榈炔顢?shù)列，例如：
①若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1為首項(xiàng)，logaq為公差的等差數(shù)列．
②若公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.如舉例說(shuō)明3.
2.牢記與等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn相關(guān)的幾個(gè)結(jié)論
(1)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.
①若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1項(xiàng)，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q為公比).

1.(2019·青島模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6,3a4，－a5成等差數(shù)列，則＝(　　)
A.3 B．9
C．10 D．13
答案　C
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)閍6,3a4，－a5成等差數(shù)列，
所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)．
由題意得a4>0，q>0.
所以q2－q－6＝0，解得q＝3，
所以＝＝1＋q2＝10.
2.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　)
A.21 B．42
C．63 D．84
答案　B
解析　設(shè){an}的公比為q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(負(fù)值舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故選B.
3.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(　　)
A.80 B．30
C．26 D．16
答案　B
解析　由題意知公比大于0，由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．
設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
又S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.

　組　基礎(chǔ)關(guān)
1.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　)
A.16 B．8
C．4 D．2
答案　C
解析　由題意知解得∴a3＝a1q2＝4.故選C.
2.(2020·新鄉(xiāng)調(diào)研)已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an}滿足a3－＋a11＝0，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b7＝a7，則b1·b13＝(　　)
A.25 B．16
C．8 D．4
答案　B
解析　由a3－＋a11＝0，得2a7－＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝b＝16.
3.(2020·天津武清區(qū)模擬)設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a

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