第八講　n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一　條件概率及其性質(zhì)
條件概率的定義
條件概率的性質(zhì)
設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率
(1)0≤P(B|A)≤1
(2)若B、C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝__P(B|A)＋P(C|A)__　
知識(shí)點(diǎn)二　事件的相互獨(dú)立性
設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝__P(A)P(B)__，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．
若事件A、B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)；事件A與，與B，與都相互獨(dú)立．
知識(shí)點(diǎn)三　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝__P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)__.
(2)二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)．
重要結(jié)論
1．A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B．
2．A，B都發(fā)生的事件為AB．
3．A，B都不發(fā)生的事件為.
4．A，B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為(A)∪(B)．
5．A，B至多有一個(gè)發(fā)生的事件為(B)∪(A)∪()．
雙基自測(cè)
題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(　ABC　)
A．若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)
B．二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布
C．袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5
D．小王通過(guò)英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰好第3次測(cè)試獲得通過(guò)的概率是P＝C·()1·(1－)3－1＝
題組二　走進(jìn)教材
2．(P55T3)天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為(　C　)
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
[解析]　設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
題組三　考題再現(xiàn)
3．(2020·石家莊質(zhì)檢)甲、乙獨(dú)立地解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.8，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是(　D　)
A．0.48 B．0.52
C．0.8 D．0.92
[解析]　1－0.2×0.4＝0.92，選D項(xiàng)．
4．(2019·福建廈門模擬)袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝C()2(1－)＝.
5．(2019·安徽安慶二模)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則P(A|B)的值為(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　公式法：P(B)＝，P(AB)＝，
P(A|B)＝＝.故選C．
直接法：P(A|B)＝＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　條件概率——自主練透
例1 (1)(2019·大慶模擬)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　B　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·重慶市診斷)某班組織由甲、乙、丙等5名同學(xué)參加的演講比賽，現(xiàn)采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，學(xué)生乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)的概率為(　A　)
A． B．
C． D．
(3)(2019·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬)已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
又A?B，則P(AB)＝P(B)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
另解：“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”有C＋1＝4種取法，“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”有1種取法，故所求概率P＝.故選B．
(2)公式法：設(shè)事件A為“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，學(xué)生乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”；事件B為“學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)”
則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
則P(B|A)＝＝＝，本題選A．
直接法：“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，學(xué)生乙不是最后一個(gè)出師”有A＋CCA＝78種；“學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)，學(xué)生乙不最后一個(gè)出場(chǎng)”有CA＝18種，故所求概率為P＝＝.
(3)記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A；“甲解答不正確”為事件B，
則P(A)＝C()2()＋C()3＝；
P(AB)＝××＝，
∴P(B|A)＝＝.故選C．
名師點(diǎn)撥 ?
條件概率的求法
(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.這是通用的求條件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝.
〔變式訓(xùn)練1〕
(2019·銀川模擬)由0,1組成的三位編號(hào)中，若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”，則P(A|B)＝(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1，且可能性相同，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)＝，第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0，即事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
考點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件的概率——師生共研
例2 (1)(2019·全國(guó))甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以41獲勝的概率是__0.18__.
(2)(2019·課標(biāo)Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．
①求P(X＝2)；
②求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
[解析]　(1)前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以41獲勝的概率是
0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以41獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
綜上所述，甲隊(duì)以41獲勝的概率是
q＝0.108＋0.072＝0.18.
(2)①X＝2就是1010平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
②X＝4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
[引申]本例(1)中乙以40獲勝的概率為__0.04__，甲以42獲勝的概率為__0.171__.
[解析]　P1＝0.42×0.52＝0.04；
P2＝(C0.42×0.6×0.52＋0.63×0.52＋C0.4×0.62×C0.52)×0.5＝0.171.
名師點(diǎn)撥 ?
利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路
(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)單事件的和．
(2)將彼此互斥簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．
〔變式訓(xùn)練2〕
(1)(2020·四川資陽(yáng)診斷)某項(xiàng)羽毛球單打比賽規(guī)則是3局2勝制，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了男子羽毛球單打決賽，假設(shè)甲每局獲勝的概率為，則由此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為____.
(2)(2019·貴陽(yáng)模擬)某乒乓球俱樂(lè)部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的．
①求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率；
②記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
[解析]　(1)因?yàn)榧撰@勝的方式有20和21兩種，
所以甲獲得冠軍的概率
P＝()2＋C×××＝.
故答案為：.
(2)①記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D．
則P(D)＝1－P()＝1－××＝.
②由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，
則P(ξ＝0)＝P()＝××＝；
P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝.
所以ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
P




E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
考點(diǎn)三　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率與二項(xiàng)分布——師生共研
例3 (2020·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)甲、乙兩位同學(xué)參加詩(shī)詞大會(huì)，設(shè)甲、乙兩人每道題答對(duì)的概率分別為和.假定甲、乙兩位同學(xué)答題情況互不影響，且每人各次答題情況相互獨(dú)立．
(1)用X表示甲同學(xué)連續(xù)三次答題中答對(duì)的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)M為事件“甲、乙兩人分別連續(xù)答題三次，甲同學(xué)答對(duì)的次數(shù)比乙同學(xué)答對(duì)的次數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率．
[解析]　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3，
則P(X＝0)＝()3＝；
P(X＝1)＝C·×()2＝；
P(X＝2)＝C()2×＝；
P(X＝3)＝()3＝.
∴隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P




∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)設(shè)Y為乙連續(xù)3次答題中答對(duì)的次數(shù)，
由題意知Y～B(3，)，
P(Y＝0)＝()3＝，
P(Y＝1)＝C()1()2＝，
所以P(M)＝P(X＝3且Y＝1)＋P(X＝2且Y＝0)
＝×＋×＝.
即事件M發(fā)生的概率為.
名師點(diǎn)撥 ?
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求解的策略
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)．在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．
(2)二項(xiàng)分布滿足的條件：①每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；④隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
(3)解此類題時(shí)常用互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式．
〔變式訓(xùn)練3〕
(2019·成都模擬)某人向一目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為.該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為136，擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
(1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；
(2)若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P(A)．
[解析]　(1)依題意知X～B(4，)，
P(X＝0)＝C()0(1－)4＝；
P(X＝1)＝C()1(1－)3＝；
P(X＝2)＝C()2(1－)2＝；
P(X＝3)＝C()3(1－)1＝；
P(X＝4)＝C()4(1－)0＝；
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P





(2)設(shè)Ai表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i＝1,2.
Bi表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”i＝1,2.
依題意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，
A＝A1∪B1∪A1B1∪A2B2，
所求的概率為P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名師講壇·素養(yǎng)提升
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的綜合應(yīng)用
例4 (2020·山西長(zhǎng)治聯(lián)考)2019年春節(jié)期間，當(dāng)紅影視明星翟天臨“不知‘知網(wǎng)’”學(xué)術(shù)不端事件在全國(guó)鬧得沸沸揚(yáng)揚(yáng)，引發(fā)了網(wǎng)友對(duì)亞洲最大電影學(xué)府北京電影學(xué)院乃至整個(gè)中國(guó)學(xué)術(shù)界高等教育亂象的反思。為進(jìn)一步端正學(xué)風(fēng)，打擊學(xué)術(shù)造假行為，教育部日前公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6 000篇，預(yù)算為800萬(wàn)元．國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”，有且只有1位專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)行復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上(含1位)專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”．設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為p(0

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