題型一　分組轉(zhuǎn)化法求和
若數(shù)列的通項(xiàng)為分段函數(shù)或幾個(gè)特殊數(shù)列通項(xiàng)的和或差的組合等形式，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，就是對(duì)原數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行分解，分別對(duì)每個(gè)新的數(shù)列進(jìn)行求和后再相加減．
[典例]　(2019·吉林調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝8，{bn}是等差數(shù)列，b1＝3，b4＝12.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
[解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a4＝a1q3得8＝1×q3，所以q＝2，所以an＝2n－1.
設(shè){bn}的公差為d，由b4＝b1＋3d得12＝3＋3d，所以d＝3，所以bn＝3n.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為＝＝2n－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為b1n＋d＝3n＋×3＝n2＋n，
所以Sn＝2n－1＋n2＋n.
[方法技巧]
分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

[提醒]　某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．　　
[針對(duì)訓(xùn)練]
(2018·焦作四模)已知{an}為等差數(shù)列，且a2＝3，{an}前4項(xiàng)的和為16，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝88，且數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn－an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍2＝3，{an}前4項(xiàng)的和為16，
所以解得
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
設(shè){bn－an}的公比為q，
則b4－a4＝(b1－a1)q3，
因?yàn)閎1＝4，b4＝88，
所以q3＝＝＝27，解得q＝3，
所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n.
(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，
所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)
＝＋＝(3n－1)＋n2
＝＋n2－.
題型二　錯(cuò)位相減法求和
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.
[典例]　(2019·南昌模擬)已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
[解]　(1)∵＋＋＋…＋＝n2＋n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，
兩式相減得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)．
又∵當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＋1，
∴a1＝4，滿足an＝n·2n＋1.∴an＝n·2n＋1.
(2)∵bn＝＝n(－2)n，
∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n.
－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1，
∴兩式相減得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－，
∴Sn＝－.
[方法技巧]
錯(cuò)位相減法求和的策略
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．　　
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．?dāng)?shù)列，，，，…的前10項(xiàng)之和為________．
解析：因?yàn)镾10＝＋＋＋…＋，①
所以S10＝＋＋…＋＋.②
①－②得S10＝＋－
＝＋－
＝－－＝，
所以S10＝＝.
答案：
2．(2019·臨川一中質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，其前6項(xiàng)和為36，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝2－(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得解得所以an＝2n－1(n∈N*)．
對(duì)于數(shù)列{bn}，因?yàn)镾n＝2－，所以當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝2－1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝－＝，
綜上所述，bn＝(n∈N*)．
(2)由(1)得anbn＝，
所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，Tn＝1＋1＋＋＋…＋－
＝3－，
所以Tn＝6－＝6－.
題型三　裂項(xiàng)相消法求和
如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和.
[典例]　(2019·湖南十三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－n.
(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝＋，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，
由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－n)－(2an－1－n＋1)，
即an＝2an－1＋1，
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，又a1＋1＝2，
所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以an＋1＝2n，an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝＋＝
＝＝－，
則Tn＝＋＋…＋－
＝1－.
[方法技巧]
1．用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律
(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
2．幾種常見的裂項(xiàng)方式
數(shù)列(n為正整數(shù))
裂項(xiàng)方式
(k為非零常數(shù))
＝

＝

＝－
(a>0，a≠1)
loga＝loga(n＋1)－logan

[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2019·成都檢測)在遞減的等差數(shù)列{an}中，a1a3＝a－4.若a1＝13，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：選D　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝loga2n－1，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.
解：(1)因?yàn)镾6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項(xiàng)，
所以2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5，
所以2S6－S4－S5＝a4＋a5－2a6，
化簡得4a6＝a4，
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝＝，
因?yàn)閍n>0，所以q＝，
又a1＝2，所以an＝2·n－1＝n－2.
(2)bn＝loga2n－1＝log2n－3＝2n－3，
＝＝－，
則Tn＝－1－1＋1－＋…＋－＝－.
[課時(shí)跟蹤檢測]
1．(2019·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)已知數(shù)列{an}滿足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 018＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：選A　∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故選A.
2．在數(shù)列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于(　　)
A．76 B．78
C．80 D．82
解析：選B　由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.
3．(2019·開封調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 018等于(　　)
A．22 018－1 B．3×21 009－3
C．3×21 009－1 D．3×21 008－2
解析：選B　∵a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列，∴S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝＋＝3×21 009－3.故選B.
4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－3n，則其前20項(xiàng)和為(　　)
A．380－　　　　 B．400－
C．420－ D．440－
解析：選C　令數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.
5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(　　)
A. B．－
C．(－1)n＋1 D．以上均不正確
解析：選C　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－＝－；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－＋n2＝.綜上可得，原式＝(－1)n＋1.
6．(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，記Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，則T2 018＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：選C　由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，則其前n項(xiàng)和Sn＝＝，所以＝＝2，Tn＝＋＋…＋＝21－＋－＋…＋－＝2＝，故T2 018＝＝，故選C.
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝________.
解析：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n＋1，∴Sn－1＝n2－n＋1(n≥2)，兩式作差得到an＝2n(n≥2)．故an＝∴＝＝－(n≥2)，∴Tn＝＋－＋－＋…＋－＝－.
答案：－
8．(2019·安徽十大名校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝－2，a2＝3，a3＝4，an＋3＋(－1)nan＋1＝2(n∈N*)．記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S20的值為________．
解析：由題意知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋3－an＋1＝2，又a2＝3，所以數(shù)列{an}中的偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×3＋×2＝120.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋3＋an＋1＝2，又a3＋a1＝2，
所以數(shù)列{an}中的相鄰的兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)之和均等于2，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a17＋a19＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋…＋(a17＋a19)＝2×5＝10，所以S20＝120＋10＝130.
答案：130
9．(2019·益陽、湘潭調(diào)研)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，設(shè)bn＝log2an，則＋＋…＋的值是________．
解析：由Sn＋1＝2Sn可知，數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為S1＝a1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，bn＝log2an＝當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
答案：
10．(2019·大連模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Tn為數(shù)列{n＋an}的前n項(xiàng)和，求Tn.
解：(1)由an＋1＝3Sn＋1，
得當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3Sn－1＋1，
兩式相減，得an＋1＝4an(n≥2)．
又a1＝1，a2＝4，＝4，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n－1(n∈N*)．
(2)Tn＝(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)
＝＋
＝＋.
11．(2019·廣州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bnbn＋1}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝.
因?yàn)閍1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an＝，①
所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2，n∈N*)，②
①－②得4n－1an＝(n≥2，n∈N*)，
所以an＝(n≥2，n∈N*)．
當(dāng)n＝1時(shí)也適合上式，故an＝(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝＝，
所以bnbn＋1＝＝，
故Tn＝
＝
＝.
12．已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和(n∈N*)．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因?yàn)閝＞0，解得q＝2.
所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②
由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.
(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為Tn，
由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，
得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，
故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，
上述兩式相減，得
－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1
＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8.
故Tn＝×4n＋1＋.
所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為×4n＋1＋.


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