2020版高考數(shù)學(xué)（文）新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)通用版講義：第六章第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
突破點(diǎn)一　數(shù)列的通項公式

1．?dāng)?shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做首項)．
2．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
3．?dāng)?shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任何一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式．
4．Sn與an的關(guān)系
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立．

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達(dá)．(　　)
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．(　　)
(3)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項．(　　)
(4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、填空題
1．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，則a5的值為________．
解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.
答案：－
2．?dāng)?shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝若an＝，則n的值為________．
解析：困為a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.
答案：9
3．?dāng)?shù)列{an}的通項公式an＝，則－3是此數(shù)列的第________項．
解析：an＝＝＝－，
∵－3＝－，∴－3是該數(shù)列的第9項．
答案：9
4．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項公式是____________．
答案：an＝

考法一　利用an與Sn的關(guān)系求通項　
數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系為an＝通過紐帶：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根據(jù)題目已知條件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解．
[例1]　(1)(2019·化州模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．
(2)(2019·廣州測試)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且對任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差數(shù)列，則an＝____________.
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝
(2)∵an，Sn，a成等差數(shù)列，∴2Sn＝an＋a.
當(dāng)n＝1時，2S1＝2a1＝a1＋a.
又a1>0，∴a1＝1.
當(dāng)n≥2時，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴an＝n(n∈N*)．
[答案]　(1)an＝　(2)n
[方法技巧]
已知Sn求an的3個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式；
(3)對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．　　
考法二　利用遞推關(guān)系求通項　
[例2]　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求數(shù)列{an}的通項公式．
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式．
(3)在數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式．
(4)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解]　(1)因為an＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．
當(dāng)n＝1時，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，
所以an＝n2＋.
(2)因為an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.
(3)因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，則＝1，
∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
[方法技巧]　典型的遞推數(shù)列及處理方法
遞推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
疊加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
疊乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化為等比數(shù)列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C為常數(shù))
化為等差數(shù)列
a1＝1，an＋1＝

1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝，則a2 019＝(　　)
A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．4 036 D．4 038
解析：選B　由題意知n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，化為＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.則a2 019＝2 019.故選B.
2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　)
A．2n－1 B．n－1
C.n－1 D．n－1
解析：選B　Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn?3Sn＝2Sn＋1?＝，故數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×n－1＝n－1.故選B.
3.已知在數(shù)列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式an＝____________.
解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因為a1＝4，所以an＝(n≥2)．因為a1＝4滿足上式，所以an＝.
答案：
4.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，則an＝____________.
解析：由題意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.
因為a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．
因為a1＝2滿足上式，
所以an＝.
答案：
突破點(diǎn)二　數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
按項數(shù)分類
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
按項與項間的大小關(guān)系分類
遞增數(shù)列
an＋1>an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1an；
當(dāng)n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>2時，an＋1－an…>an，
所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故選A.
法二：(作商比較法)
＝＝，
令>1，解得n0，故a1a4>a5>…>an，
所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故選A.
[答案]　A
[方法技巧]
求數(shù)列最大項或最小項的方法
(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項．
(2)通過通項公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用(n≥2)確定最大項，利用(n≥2)確定最小項．
(3)比較法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0或an>0時，>1，則an＋1>an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項為a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0時，