2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)新課改省份專用學(xué)案：第九章第二節(jié)變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例

第二節(jié)　變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例突破點(diǎn)一　回歸分析 1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)回歸直線從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線回歸方程回歸方程為＝x＋，其中＝， ＝－最小二乘法通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(　　)(2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(　　)(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√二、填空題1．已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為＝0.95x＋，則＝________.x0134y2.24.34.86.7答案：2.62．兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，經(jīng)計(jì)算得到它們的相關(guān)系數(shù)r的值如下表，其中擬合效果最好的模型是________.模型模型1模型2模型3模型4r0.980.800.500.25答案：模型13．已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為＝－3＋x，若i＝17，  i＝4，則的值為________．答案：2 考法一　相關(guān)關(guān)系的判斷　[例1]　(1)(2019·福建泉州月考)在下列各圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是(　　)A．①②　　　　　　　　 　B．①③C．②③   D．②④(2)(2019·昆明一中一模)若對(duì)于變量x的取值為3,4,5,6,7時(shí)，變量y對(duì)應(yīng)的值依次分別為4.0,2.5，－0.5，－1，－2；若對(duì)于變量u的取值為1,2,3,4時(shí)，變量v對(duì)應(yīng)的值依次分別為2,3,4,6，則變量x和y，變量u和v的相關(guān)關(guān)系是(　　)A．變量x和y是正相關(guān)，變量u和v是正相關(guān)B．變量x和y是正相關(guān)，變量u和v是負(fù)相關(guān)C．變量x和y是負(fù)相關(guān)，變量u和v是負(fù)相關(guān)D．變量x和y是負(fù)相關(guān)，變量u和v是正相關(guān)[解析]　(1)①為函數(shù)關(guān)系；②為正相關(guān)關(guān)系；③為負(fù)相關(guān)關(guān)系；④沒有明顯相關(guān)性．(2)變量x增加，變量y減少，所以變量x和y是負(fù)相關(guān)；變量u增加，變量v增加，所以變量u和v是正相關(guān)，故選D.[答案]　(1)C　(2)D[方法技巧]判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．　　   考法二　線性回歸分析　[例2]　(2018·全國(guó)卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．[解]　(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．(以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)[方法技巧]1．回歸直線方程中系數(shù)的2種求法(1)公式法：利用公式，求出回歸系數(shù)，.(2)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)中心(，)求系數(shù)．2．回歸分析的2種策略(1)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(2)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是回歸系數(shù).　　1.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是(　　)A．①②   B．②③C．③④   D．①④解析：選D　正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負(fù)相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為①④.2.二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價(jià)y201286.44.43z＝ln y3.002.482.081.861.481.10z關(guān)于x的折線圖，如圖所示：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為多少．(，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字)參考公式：＝＝，＝－，r＝ .參考數(shù)據(jù)：iyi＝187.4，izi＝47.64，＝139，＝4.18, ＝13.96，＝1.53，ln 1.46≈0.38.解：(1)由題意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又izi＝47.64，＝4.18，＝1.53，∴r＝＝－≈－0.99，∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高．(2)＝＝－≈－0.36，∴＝－＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是＝－0.36x＋3.62，又z＝ln y，∴y關(guān)于x的回歸方程是＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln 1.46≈0.38，∴＝1.46，即預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為1.46萬(wàn)元．突破點(diǎn)二　獨(dú)立性檢驗(yàn)1．分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．2．列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為 y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來(lái)判斷“X與Y的關(guān)系”．一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的值越大．(　　)(2)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．(　　)答案：(1)√　(2)×二、填空題1．下面是2×2列聯(lián)表： y1y2總計(jì)x1a2173x2222547總計(jì)b46120則表中a，b的值分別為________．解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案：52,74 2．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為________．答案：5%3．(2019·阜陽(yáng)質(zhì)檢)某班主任對(duì)全班30名男生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總計(jì)喜歡玩電腦游戲12820不喜歡玩電腦游戲2810總計(jì)141630該班主任據(jù)此推斷男生認(rèn)為作業(yè)多與喜歡玩電腦游戲有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過________．答案：0.05 [典例]　(2018·全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由．(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式  第二種生產(chǎn)方式  　　(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝，[解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m＝＝80.列聯(lián)表如下： 超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)因?yàn)?/span>K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．[方法技巧](1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并計(jì)算出K2的值．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)它們是否有關(guān)系的判斷．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(2019·安徽黃山一模)在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若K2的觀測(cè)值為k＝6.635，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌B．由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D．以上三種說(shuō)法都不正確解析：選C　獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋．若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤．故選C.2．(2019·池州模擬)某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制的頻率分布直方圖如圖所示．規(guī)定80分以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗(滿分為100分)．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)該次考試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表)；(3)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān). 晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男16  女  50總計(jì)    P(K2≥k)0.400.250.150.100.050.025k0.7081.3232.0722.7063.8415.024解：(1)由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積總和為1，得(2a＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由頻率分布直方圖知各小組的中點(diǎn)值依次是55,65,75,85,95，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，則估計(jì)該次考試的平均分為＝55×0.05＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.05＝74(分)．(3)由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為0.2＋0.05＝0.25，故晉級(jí)成功的人數(shù)為100×0.25＝25，填寫2×2列聯(lián)表如下： 晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男163450女94150總計(jì)2575100K2＝≈2.613＞2.072，所以有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)．