突破點(diǎn)一　橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)．
(1)若a＞c，則集合P為橢圓．
(2)若a＝c，則集合P為線段．
(3)若a＜c，則集合P為空集．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，其中c2＝a2－b2.

一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　)
(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空題
1．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是________．
答案：4
2．如果方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)
3．已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．
答案：＋＝1


考法一　橢圓的定義及應(yīng)用　
[例1]　(1)(2019·衡水調(diào)研)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1　　　　 　B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(2019·齊齊哈爾八中模擬)如圖，橢圓＋＝1(a＞2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面積為(　　)

A. B.
C. D.
[解析]　(1)由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1，故選D.
(2)設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則cos 60°＝＝＝，化簡(jiǎn)得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2，∵b2＝4，∴mn＝，∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝.故選D.
[答案]　(1)D　(2)D
[方法技巧]
橢圓焦點(diǎn)三角形中的常用結(jié)論
以橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的 △PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3) S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值為bc.
(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．　　
考法二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　
[例2]　(1)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－2，0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的方程為(　　)

A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
(2)(2019·武漢調(diào)研)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為_(kāi)___________．
[解析]　(1)設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，則|PF′|＝＝8，由橢圓定義，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，
∴可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
∵P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，
∴橢圓方程為＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)＋＝1
[方法技巧]　待定系數(shù)法求橢圓方程的思路


1.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：選B　由題意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，則b＝＝，
所以橢圓C的方程為＋＝1.故選B.
2.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：選A　依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a＞b＞0)，∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，∴2a＝12，∴a＝6，∵橢圓的離心率為，∴e＝＝ ＝，即＝，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為＋＝1，故選A.
3.P為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥F1F2于點(diǎn)H，若PF1⊥PF2，則|PH|＝(　　)
A. B.
C．8 D.
解析：選D　由橢圓＋＝1得a2＝25，b2＝9，
則c＝＝＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝82.
∴2|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)
＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，
∴|PH|＝＝.故選D.
突破點(diǎn)二　橢圓的幾何性質(zhì)


標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
圖形


性 質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：(0,0)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a.(　　)
(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c.(　　)
(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空題
1．若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m的值為_(kāi)_______．
答案：
2．橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案：(0，±)
3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)P(－5,4)，則橢圓的方程為_(kāi)_______．
答案：＋＝1


考法一　橢圓的離心率　
橢圓的離心率是一個(gè)重要的基本量，在橢圓中有著極其特殊的作用，也是高考?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，主要考查兩類問(wèn)題：一是求橢圓的離心率；二是求橢圓離心率的取值范圍．
[例1]　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·江西臨川二中、新余四中聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是(　　)
A．(0，－1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．(－1,1)

[解析]　(1)如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A，B，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，兩邊同時(shí)除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是(－1,1)，故選B.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
1．求橢圓離心率的3種方法
(1)直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．
(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．
[提醒]　在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．

2．求橢圓離心率范圍的2種方法
方法
解讀
適合題型
幾何法
利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系
題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系
直接法
根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式
題設(shè)條件直接有不等關(guān)系

考法二　與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問(wèn)題　
[例2]　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
(2)(2019·合肥質(zhì)檢)如圖，

焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_______．
[解析]　(1)當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，
要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
當(dāng)m＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，
要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
(2)由題意知a＝2，
因?yàn)閑＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故橢圓方程為＋＝1.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
則當(dāng)x0＝－2時(shí)，·取得最大值4.
[答案]　(1)A　(2)4
[方法技巧]
與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．
(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．
[提醒]　求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系．　　

1.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，右焦點(diǎn)為F，若·＝0，則橢圓的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　由題意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(xiàn)(c,0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)．∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．∴橢圓的離心率為，故選D.
2.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2－＝1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是C1，C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，若|F1F2|＝|F1A|，則C2的離心率是(　　)

A. B.
C. D.

解析：選C　設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a.由題意可知，|F1F2|＝|F1A|＝6，∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝4，∴|F1A|＋|F2A|＝10，∴2a＝10，∴C2的離心率是＝.故選C.
3.已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿足0＜＋y＜1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________．
解析：由點(diǎn)P(x0，y0)滿足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn))，因?yàn)閍＝，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，當(dāng)P(x0，y0)與F1或F2重合時(shí)，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)．
答案：[2,2)

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部