2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)新課改省份專用學(xué)案：第六章第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

突破點一　等差數(shù)列的基本運算

1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項．
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋d＝.

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
二、填空題
1．若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是________．
答案：3
2．在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6的值為________．
答案：14
3．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是________．
答案：4
4．在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，S100＝10 000，則Sn＝________.
答案：n2

1．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.將a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2019·山東五校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，其前3項的和為－3，前3項的積為8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d>0，
∵等差數(shù)列{an}的前3項的和為－3，前3項的積為8，
∴∴或
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
∴Sn＝＝.

解決等差數(shù)列基本量計算問題的思路
(1)在等差數(shù)列{an}中，a1與d是最基本的兩個量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程(組)求解即可．
(2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題，主要圍繞著通項公式an＝a1＋(n－1)d和前n項和公式Sn＝＝na1＋d，在兩個公式中共涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三個量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個量．

1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a3＝2，a9＝12，則a15＝(　　)
A．10 B．30
C．40 D．20
解析：選B　法一：設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.
法二：由于數(shù)列是等差數(shù)列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.
2．(2018·信陽二模)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種質(zhì)量單位)，在這個問題中，甲得________錢．(　　)
A. B．
C. D．
解析：選C　甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)依次設(shè)為成等差數(shù)列的a1，a2，a3，a4，a5，設(shè)公差為d，由題意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得錢，故選C.
3．(2018·菏澤二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，滿足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝|13－an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
bn＝|cn|＝|11－2n|＝
設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Qn，則Qn＝－n2＋10n.
當(dāng)n≤5時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.
當(dāng)n≥6時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.
突破點二　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇見S奇，S偶時可分別運用性質(zhì)及有關(guān)公式求解．
(6)若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn，Tn，則＝.
(7)若{an}是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差是{an}的公差的.
(8)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝.
(9)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.

1．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝________.
解析：依題意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.
答案：74
2．設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是________．
答案：2
3．在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列前13項的和是________．
答案：26

考法一　等差數(shù)列的性質(zhì)　
[例1]　(1)(2019·武漢模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a1＝2a3－3，則S9＝(　　)
A．25　　　　　　　 B．27
C．50 D．54
(2)(2019·莆田九校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，若a1，a2 019為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a2＋a1 010＋a2 018＝(　　)
A．10 B．15
C．20 D．40
[解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，
∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.
(2)因為a1，a2 019為方程x2－10x＋16＝0的兩根，所以a1＋a2 019＝10.
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1 010＝＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，
所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故選B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解問題的注意點
(1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件；若求am項，可由am＝(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
[提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等號左、右兩邊必須是兩項相加，當(dāng)然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　
考法二　等差數(shù)列前n項和最值問題　
等差數(shù)列的通項an及前n項和Sn均為n的函數(shù)，通常利用二次函數(shù)法或通項變號法解決等差數(shù)列前n項和Sn的最值問題．
[例2]　(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解]　(1)設(shè){an}的公差為d，
由題意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通項公式為an＝2n－9.
(2)法一：(二次函數(shù)法)
由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以當(dāng)n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16.
法二：(通項變號法)
由(1)知an＝2n－9，則Sn＝＝n2－8n.
由Sn最小?
即∴≤n≤，
又n∈N*，∴n＝4，
此時Sn的最小值為S4＝－16.
[方法技巧]
求等差數(shù)列前n項和Sn最值的2種方法
(1)二次函數(shù)法
利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．
(2)通項變號法
①a1>0，d0，由得
∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值．
法二：∵a1＝25，S17＝S9，
∴17a1＋d＝9a1＋d，
解得d＝－2.
從而Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
故前13項之和最大．
突破點三　等差數(shù)列的判定與證明
[典例]　(2019·濟南一中檢測)各項均不為0的數(shù)列{an}滿足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
[解]　(1)證明：依題意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，兩邊同時除以anan＋1an＋2，可得＋＝，故數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為d.因為a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，所以－＝5＝5d，即d＝1，所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，故an＝.
(2)由(1)可知bn＝＝·＝－，故Sn＝－＋－＋…＋－＝.
[方法技巧]
等差數(shù)列的判定與證明方法
方法
解讀
適合題型
定義法
對于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列
解答題中的證明問題
等差中項法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列
通項公式法
an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列
選擇、填空題定中的判問題
前n項和公式法
驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列

[提醒]　判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數(shù)，即易忽視驗證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件．
[針對訓(xùn)練]
(2019·沈陽模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和Sn；
(2)是否存在正整數(shù)n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則
∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2
＝－6n2－4n－6，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，
若存在正整數(shù)n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列，
則－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列．