§2.3　函數(shù)的奇偶性與周期性


1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f?(－x)＝f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱

2.周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f (x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就稱函數(shù)y＝f (x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f (x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函數(shù)f (x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則f (x)的定義域關(guān)于原點對稱．
2．已知函數(shù)f (x)滿足下列條件，你能否得到函數(shù)f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f?(x)對于定義域中任意x，均有f?(x)＝f?(2a－x)，或f?(a＋x)＝f?(a－x)，則函數(shù)f?(x)關(guān)于直線x＝a對稱．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　×　)
(2)如果函數(shù)f?(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f?(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　√　)
(3)若函數(shù)y＝f?(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f?(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(　√　)
(4)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(　√　)

題組二　教材改編
2．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是________．(填序號)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案?、冖?br /> 3．已知函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f (x)＝x(1＋x)，則f (－1)＝________.
答案?。?
解析　f (1)＝1×2＝2，又f (x)為奇函數(shù)，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.設(shè)奇函數(shù)f?(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f?(x)的圖象如圖所示，則不等式f?(x)

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