第四講　函數(shù)的奇偶性與周期性
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識梳理·雙基自測

知識點一　函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)
奇函數(shù)
定義
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x
都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
圖象特征
關(guān)于y軸對稱
關(guān)于原點對稱
知識點二　函數(shù)的周期性
1．周期函數(shù)
對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

1．奇(偶)函數(shù)定義的等價形式
(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)?f(x)為偶函數(shù)；
(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1(f(x)≠0)?f(x)為奇函數(shù)．
2．對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，最小正周期為T
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，則T＝|a－b|.
3．函數(shù)圖象的對稱關(guān)系
(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；
(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱．
4．一些重要類型的奇偶函數(shù)
(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為奇函數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)＝＋為奇函數(shù)；
(3)函數(shù)f(x)＝loga 為奇函數(shù)；
(4)函數(shù)f(x)＝loga(x＋)為奇函數(shù)．


題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論正確的為(　BCD　)
A．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0
B．若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱
C．若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱
D．2π是函數(shù)f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一個周期
題組二　走進教材
2．(必修1P35例5改編)函數(shù)f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋|x|中，偶函數(shù)的個數(shù)是2.
3．(必修1P45T6改編)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則它在[－b，－a]上是減函數(shù)；若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則它在[－b，－a]上是減函數(shù)．
4．(必修4P46T10改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝log3(x2＋3)，則f(2019)＝1.
題組三　考題再現(xiàn)
5．(2019·全國卷Ⅱ，5分)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x

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