第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性
考試要求　1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.

知 識 梳 理
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
[常用結(jié)論與微點提醒]
1.(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
3.函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，則T＝2a(a>0，c為常數(shù)).
4.對稱性的三個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.
診 斷 自 測

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝x2在x∈(0，＋∞)時是偶函數(shù).(　　)
(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期.(　　)
(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(　　)
解析　(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯.
(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，其在x＝0處有意義時才滿足f(0)＝0，(2)錯.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(新教材必修第一冊P84例6改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
解析　根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)且定義域關(guān)于原點對稱，A選項為奇函數(shù)；B選項為偶函數(shù)；C選項定義域為(0，＋∞)，不具有奇偶性；D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
答案　B
3.(老教材必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1，1)時，f(x)＝則f＝________.
解析　由題意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
答案　1

4.(2020·濟南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
解析　由題意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，
解得a＝，則a＋b＝.
答案　B
5.(2019·全國Ⅱ卷)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x0時，f(x)＝ln(1＋x)－，
因為y＝ln(1＋x)與y＝－在(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.
由f(|x|)>f(|2x－1|，可得|x|>|2x－1|，
兩邊平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1

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