第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

[考綱解讀]　1.了解函數(shù)奇偶性的含義．
2．會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性．(重點(diǎn))
3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性．(重點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來看，函數(shù)的奇偶性與周期性是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2021年高考會(huì)側(cè)重以下三點(diǎn)：①函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用；②函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用；③綜合利用函數(shù)奇偶性、周期性和單調(diào)性求參數(shù)的值或解不等式.


1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對(duì)稱
奇函數(shù)
一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

2．周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

1．概念辨析
(1)“a＋b＝0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要條件．(　　)
(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0.(　　)
(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(　　)
(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．(　　)
(5)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若在(－∞，0)上是減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　)
(6)若T為y＝f(x)的一個(gè)周期，那么nT(n∈Z)也是函數(shù)f(x)的周期．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小題熱身
(1)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案　A
解析　A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D是非奇非偶函數(shù)．
(2)若f(x)是R上周期為2的函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝________.
答案?。?
解析　因?yàn)閒(x)是R上周期為2的函數(shù)，
所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，
所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.
(3)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.
答案　－5
解析　因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
所以f(－2)＋f(0)＝－5.
(4)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.
答案　3
解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
所以f(1)＝f(3)＝3.綜上可知，f(－1)＝3.

(5)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．
答案　(－2,0)∪(2,5]



解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，作出其圖如右，
觀察圖象可知，不等式f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5]．



題型 一　函數(shù)的奇偶性　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


角度1　判斷函數(shù)的奇偶性
1．(2020·成都市高三階段考試)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案　D
解析　因?yàn)閥＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函數(shù)；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函數(shù)；由y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝x是定義在R上的奇函數(shù)，奇×奇＝偶，知③是偶函數(shù)；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函數(shù)．
2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)由≥0得－1≤x

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部