第09講 函數(shù)的奇偶性與周期性-2021屆新課改地區(qū)高三數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)

?第9講：函數(shù)的奇偶性與周期性
一、 課程標(biāo)準(zhǔn)
1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.
2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.
3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.

二、 基礎(chǔ)知識回顧
1、 奇、偶函數(shù)的定義
對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，則稱f(x)為奇函數(shù)；對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，則稱f(x)為偶函數(shù)．
2、 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)
(1)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱)．
(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．
(3)若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)＝__0__．
(4)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．
3、 周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
4、函數(shù)奇偶性常用結(jié)論
(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
5、函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
6、函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱．

三、 自主熱身、歸納總結(jié)
1、對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出下列說法：
①若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；
②若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；
③若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；
④若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)．
其中，正確的說法是(A )
A. ①③　 B. ①④ C. ②③ D. ③④　
【答案】A
【解析】　根據(jù)偶函數(shù)的定義，①③正確，若舉例奇函數(shù)
由于f(－2)＝f(2)，∴②④都錯誤．故填寫①③.

2、(2019·郴州第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知f(x)是定義在[2b，1－b]上的偶函數(shù)，且在[2b，0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≤f(2x)的解集為(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．[－1，1] D.
【答案】B
【解析】　(1)∵f(x)是定義在[2b，1－b]上的偶函數(shù)，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b，0]上為增函數(shù)，即函數(shù)f(x)在[－2，0]上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在(0，2]上為減函數(shù)，則由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.
又因為定義域為[－2，2]，所以
解得∴－1≤x≤.

3、函數(shù)y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是(　　)
A．f(1)