第6講　幾何概型
[考綱解讀]　1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．
2．了解幾何概型的意義，并能求與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的概率．(重點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考的熱點(diǎn)之一．預(yù)測(cè)2021年將會(huì)考查：①與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合；②與面積有關(guān)的幾何概型，常涉及線性規(guī)劃、定積分等內(nèi)容．題型為客觀題，試題難度不大，屬中、低檔試題.

1.幾何概型的定義
如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．
2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)

3．幾何概型的概率公式
P(A)＝.

1．概念辨析
(1)幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的．(　　)
(2)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(　　)
(3)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(　　)
(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．小題熱身
(1)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一個(gè)玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　)

答案　A
解析　如題干選項(xiàng)中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故選A.
(2)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　區(qū)間[－2,4]的長(zhǎng)度為6，在[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則對(duì)應(yīng)區(qū)間長(zhǎng)度為5，由[－2,3]的長(zhǎng)度為5，得m＝3.
(3)(2019·福州四校聯(lián)考)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點(diǎn)在上任取一點(diǎn)C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　記事件T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如圖，記的三等分點(diǎn)為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故選A.

(4)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．
答案　1－
解析　正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為×πr3＝××13＝，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－＝1－.

題型一　與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型　

1．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A　
解析　不等式－1≤log≤1可化為log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由幾何概型的概率公式得P＝＝.
條件探究1　將本例中的條件“－1≤log≤1”改為“使函數(shù)y＝有意義”，則其概率為________．
答案　
解析　由log(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈，由幾何概型的概率公式，得P＝＝.
條件探究2　將本例中的條件“－1≤log≤1”改為“2≤2x＋≤4”，則其概率為________．
答案　
解析　由2≤2x＋≤4得1≤x＋≤2，即x∈，由幾何概型的概率公式，得P＝＝.
2．(2019·東北三省三校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，BC＝，在邊AD上任取點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，則AF

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