2021屆高考數(shù)學人教版一輪創(chuàng)新教學案：第6章第3講　基本不等式-學案下載-教習網(wǎng)

第3講　基本不等式
[考綱解讀]　1.了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題．(重點)
2．掌握基本不等式內(nèi)容，“一正二定三相等”缺一不可，能對“積”與“和”相互轉(zhuǎn)化，掌握“拆添項”與“配湊因式”的技巧．(難點)
[考向預測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預測2021年將會考查利用基本不等式求最值或比較大小，也可能與其他知識綜合考查，體現(xiàn)基本不等式的工具性．試題難度不大，但技巧性強，靈活多變，客觀題或解答題均可能出現(xiàn).

1.基本不等式
不等式
成立的條件
等號成立的條件
兩個不等式的關系
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
在不等式a2＋b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，分別以，代替a，b可得a＋b≥2，即≤
≤
a＞0，b＞0
a＝b

設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
2．利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)．
注：應用基本不等式求最值時，必須考察“一正、二定、三相等”，忽略某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
3．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)2≤(a，b∈R)，
2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．
(5)≥≥ab(a，b∈R)．
(6)≥≥≥(a>0，b>0)．

1．概念辨析
(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．(　　)
(2)函數(shù)f(x)＝＋的最小值為2.(　　)
(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)若x＜0，則x＋(　　)
A．有最小值，且最小值為2
B．有最大值，且最大值為2
C．有最小值，且最小值為－2
D．有最大值，且最大值為－2
答案　D
解析　因為x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2，當且僅當x＝－1時，等號成立，所以x＋≤－2.
(2)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　)
A．80 B．77
C．81 D．82
答案　C
解析　由基本不等式18＝x＋y≥2?9≥?xy≤81，當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值81，故選C.
(3)已知lg a＋lg b＝2，則lg (a＋b)的最小值為(　　)
A．1＋lg 2 B．2
C．1－lg 2 D．2
答案　A
解析　由lg a＋lg b＝2，可知a>0，b>0，lg (ab)＝2，即ab＝100.所以a＋b≥2＝2＝20，當且僅當a＝b＝10時取等號，所以lg (a＋b)≥lg 20＝1＋lg 2.故lg (a＋b)的最小值為1＋lg 2.
(4)周長為12的矩形，其面積的最大值為________．
答案　9
解析　設此矩形的長和寬分別為x，y，則2(x＋y)＝12，x＋y＝6.所以xy≤2＝9.當且僅當x＝y(tǒng)＝3時，xy取得最大值9.即此矩形面積的最大值為9.

題型一　利用基本不等式求最值　

角度1　直接應用
1．(2019·開封模擬)若實數(shù)x，y滿足2x＋2y＝1，則x＋y的最大值是(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案　B
解析　由題得2x＋2y≥2＝2(當且僅當x＝y(tǒng)＝－1時取等號)，所以1≥2，所以≥2x＋y，所以2－2≥2x＋y，所以x＋y≤－2.所以x＋y的最大值為－2.
角度2　拼湊法求最值
2．(1)求f(x)＝4x－2＋的最大值；
(2)已知x為正實數(shù)且x2＋＝1，求x的最大值．
解　(1)因為x＜，所以5－4x＞0，
則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(2)因為x＞0，所以x＝≤，
當且僅當x2＝＋，即x＝，y2＝時，等號成立．
又x2＋＝＋＝，
所以x≤＝，
即(x)max＝.
角度3　構造不等式求最值(多維探究)
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值為(　　)
A．3 B．4
C. D.
答案　B
解析　因為x>0，y>0，且x＋2y＋2xy＝8，所以x＋2y＝8－2xy≥8－2，當且僅當x＝2y，即x＝2，y＝1時，等號成立．整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8.又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.故x＋2y的最小值為4.
條件探究　將本例中的條件“x＋2y＋2xy＝8”改為“4xy－x－2y＝4”，其他條件不變，則xy的最小值為________．
答案　2
解析　因為x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，所以4xy－4＝x＋2y≥2，當且僅當x＝2y，即x＝2，y＝1時，等號成立．整理可得2xy－－2≥0.解得≥2，即xy≥2，所以xy的最小值為2.
角度4　常數(shù)代換法求最值(多維探究)
4．(2019·北京師大附中模擬)已知正項等比數(shù)列{an}滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an，使得aman＝16a，則＋的最小值為(　　)
A. B.
C. D．不存在
答案　C
解析　設正項等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0，
由a7＝a6＋2a5得a6q＝a6＋，
化簡得，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
因為aman＝16a，所以(a1qm－1)(a1qn－1)＝16a，
則qm＋n－2＝16，解得m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)＝≥＝.
當且僅當＝時取等號，此時
解得
因為m，n取正整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到，
則＋＞，
驗證可得，當m＝2，n＝4時，＋取得最小值為.
條件探究　將本例中數(shù)列{an}滿足的條件改為“數(shù)列{an}是等差數(shù)列，an＞0，且a5＝2”，則＋的最小值為________．
答案　4
解析　由已知得，a2＋a8＝2a5＝4，且a2＞0，a8＞0.所以＋＝(a2＋a8)＝≥＝4，當且僅當＝，即a8＝3a2時等號成立．所以＋的最小值為4.

1．拼湊法求解最值應注意的問題
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形．如舉例說明2(2)；
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．如舉例說明2(1)；
(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的條件．
2．通過消元法求最值的方法
消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．
3．常數(shù)代換法求最值的步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式．如舉例說明4；
(4)利用基本不等式求解最值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　對于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝.故選B.
2．(2020·岳陽一中月考)已知a＞b＞0，則2a＋＋的最小值為(　　)
A．6 B．4
C．2 D．3
答案　A
解析　因為a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，
所以2a＋＋＝a＋b＋＋a－b＋≥2＋2＝4＋2＝6.
當且僅當a＋b＝且a－b＝，
即a＝，b＝時等號成立．
所以2a＋＋的最小值為6.
題型二　基本不等式的綜合應用　

角度1　基本不等式中的恒成立問題
1．(2019·河南平頂山一模)若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞
C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤
答案　A
解析　因為對任意x>0，≤a恒成立，
所以對x∈(0，＋∞)，a≥max，
而對x∈(0，＋∞)，
＝≤＝，
當且僅當x＝1時等號成立，所以a≥.故選A.
角度2　基本不等式與其他知識的綜合問題

2．(2019·昆明模擬)如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且∠EAF＝45°.設∠BAE＝θ，當四邊形AECF的面積取得最大值時，則tanθ＝________.
答案　－1
解析　在直角三角形ABE中，可得BE＝4tanθ(00，O為坐標原點)，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是(　　)
A．4 B.
C．8 D．9
答案　D
解析　∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三點共線，則有A∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當即a＝b＝時等號成立．故選D.
2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的圖象在點(1，f(1))處的切線的斜率為2，則的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．3
答案　B
解析　由函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線斜率為2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以＝＋＝·(2a＋b)＝≥＝×(10＋8)＝9，當且僅當＝，即a＝，b＝時等號成立，所以的最小值為9，故選B.
3．(2019·河北石家莊模擬)若a，b是正數(shù)，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為2，則t＝a取得最大值時a的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因為圓心到直線的距離d＝，則直線被圓截得的弦長L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.則t＝a＝·(2a)·≤××[(2a)2＋()2]＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，當且僅當
時等號成立，此時a＝，故選D.
4．(2019·江淮十校模擬)已知函數(shù)f(x)＝|ln (x－1)|，若f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍為(　　)
A．(4，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[6，＋∞) D．(4,3＋2]
答案　B
解析　∵函數(shù)f(x)＝|ln (x－1)|，f(a)＝f(b)，且x>1，不妨設a