2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第8章第6講　雙曲線-學(xué)案下載-教習網(wǎng)

第6講　雙曲線
[考綱解讀]　1.掌握雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)．(重點)
2．掌握直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷，并能求解與雙曲線有關(guān)的簡單問題，理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用．(難點)
[考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的熱點．預(yù)測2021年高考會考查：①雙曲線定義的應(yīng)用與標準方程的求解；②漸近線方程與離心率的求解．試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，以中檔題為主.
　　　　　　　　　　　　　　　
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c>0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：
(1)當ac時，P點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形

續(xù)表
標準方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸　對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
實軸：|A1A2|＝2a；虛軸：|B1B2|＝2b
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．必記結(jié)論
(1)焦點到漸近線的距離為b.
(2)等軸雙曲線：實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫等軸雙曲線，其方程可寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(3)等軸雙曲線?離心率e＝?兩條漸近線y＝±x相互垂直．

1．概念辨析
(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
(4)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線)．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)設(shè)雙曲線C的兩個焦點分別為(－2,0)，(2,0)，一個頂點是(，0)，則C的方程為________．
答案?。?
解析　由題意，得雙曲線C的焦點在x軸上，設(shè)其方程為－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝，所以C的方程為－＝1.
(2)設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.
答案　17
解析　由題意知|PF1|＝90)的離心率為，則a＝________.
答案　4
解析　由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因為a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.
(4)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為________．
答案　y＝±x
解析　由已知，得2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，所以a＝＝，所以雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.

題型一　雙曲線的定義及應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
答案　B
解析　由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號．
∴|PF|＋|PA|的最小值為9.故選B.
2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.
答案　
解析　由已知條件及雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
則cos∠F1PF2＝
＝＝.
條件探究　將本例中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積為________．
答案　2
解析　不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(2)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝2.

1．利用雙曲線的定義需注意的問題
在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用．
2．利用焦點三角形需注意的問題
在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a兩邊平方，建立與|PF1|·|PF2|有關(guān)的方程．見舉例說明2及條件探究．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．設(shè)P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M，N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，設(shè)|PM|－|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|m－n|＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　C
解析　易知雙曲線的兩焦點為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，恰為兩個圓的圓心，兩個圓的半徑分別為2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值為(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.
2．(2020·廣東普寧市華僑中學(xué)月考)過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作一條直線l交雙曲線左支于P，Q兩點，若|PQ|＝4，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是________．
答案　12
解析　由雙曲線的定義知，|PF2|－|PF1|＝2a＝2，|QF2|－|QF1|＝2a＝2，所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4，又|PQ|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－4＝4，|PF2|＋|QF2|＝8，所以△PF2Q的周長是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝12.
題型二　雙曲線的標準方程及應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(x≥ )
B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ )
D.＋＝1(x≤－)
答案　A
解析　設(shè)動圓的半徑為r，由題意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由雙曲線的定義可知動點M在以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點，實軸長為2a＝2的雙曲線的右支上，即a＝，c＝4?b2＝16－2＝14，故其標準方程為－＝1(x≥)．
條件探究　將本例中的條件改為“動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9都外切”，則動圓圓心M的軌跡方程為____________．
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　
如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因為|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.
又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，
其中a＝1，c＝3，則b2＝8.
故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．
2．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)虛軸長為12，離心率為；
(2)與已知雙曲線x2－4y2＝4有共同漸近線且經(jīng)過點(2,2)；
(3)經(jīng)過兩點P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解　(1)設(shè)雙曲線的標準方程為
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由題意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(2)由已知，可設(shè)雙曲線方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，
因為此雙曲線經(jīng)過點(2,2)，所以22－4×22＝λ，
解得λ＝－12，
所以雙曲線方程為x2－4y2＝－12，即－＝1.
(3)設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴雙曲線的標準方程為－＝1.

求雙曲線標準方程的兩種方法
(1)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．見舉例說明1.
(2)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標準形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．見舉例說明2(1)．與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)．見舉例說明2(2)．
注意：求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不確定，要注意分類討論．也可以設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)求解．見舉例說明2(3)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·昆明模擬)已知雙曲線C的一個焦點坐標為(，0)，漸近線方程為y＝±x，則C的方程是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　B
解析　因為雙曲線C的一個焦點坐標為(，0)，所以c＝，又因為雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，所以有＝?a＝b，c＝，而c＝，所以解得a＝，b＝1，因此雙曲線C的方程為－y2＝1.
2．設(shè)F1和F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)為等邊三角形的三個頂點，且雙曲線經(jīng)過點Q(，)，則該雙曲線的方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　
F1和F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，∵F1，F(xiàn)2，P(0,2b)構(gòu)成正三角形，
∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵雙曲線－＝1過點Q(，)，∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，∴雙曲線的方程為－＝1.故選D.
題型三　雙曲線的幾何性質(zhì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

角度1　雙曲線的焦點、焦距、實軸、虛軸、頂點
及范圍問題
1．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點．若·0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案　A
解析　如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B，因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又點M在雙曲線上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a.整理，得b＝a.所以＝.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.

4．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)已知直線x＝4與雙曲線C：－y2＝1的漸近線交于A，B兩點，設(shè)P為雙曲線C上的任意一點，若＝a＋b(a，b∈R，O為坐標原點)，則下列不等式恒成立的是(　　)
A．a(chǎn)2＋b2≥ B．a(chǎn)2＋b2≥
C．a(chǎn)2＋b2≤ D．a(chǎn)2＋b2≤
答案　B
解析　因為雙曲線C：－y2＝1的漸近線為y＝±，與直線x＝4交于A(4,2)，B(4，－2)，設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(4,2)，＝(4，－2)，因為＝a＋b，所以x＝4a＋4b，y＝2a－2b，由于點P(x，y)在雙曲線上，故－(2a－2b)2＝1，解得ab＝，則a2＋b2≥2＝(當且僅當a2＝b2且ab＝時取“＝”)．故選B.
角度3　與雙曲線離心率有關(guān)的問題
5．(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________．
答案　2

解析　解法一：由＝，
得A為F1B的中點．
又O為F1F2的中點，
∴OA∥BF2.
又·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2為等邊三角形．
如圖1所示，不妨設(shè)B為.
∵點B在直線y＝－x上，∴＝，
∴離心率e＝＝＝2.

解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點，
∴|OF2|＝|OB|＝c.
如圖2，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得＝，
且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F(xiàn)2(c,0)．
又＝，∴A為F1B的中點．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，
∴離心率e＝＝2.

1．與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路
(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解．見舉例說明1.
(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系，如借助雙曲線上點的坐標范圍，方程中Δ≥0等來解決．
2．與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略
(1)雙曲線的離心率e＝是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式，并且需注意e>1.
(2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線是令－＝0，即得兩漸近線方程±＝0.
(3)漸近線的斜率也是一個比值，可類比離心率的求法解答．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2020·濰坊高三月考)雙曲線C：－＝λ(λ≠0)，當λ變化時，以下說法正確的是(　　)
A．焦點坐標不變 B．頂點坐標不變
C．漸近線不變 D．離心率不變
答案　C
解析　當λ>0時，雙曲線的焦點和頂點在x軸上，當λ0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且與漸近線垂直的直線分別與該漸近線和y軸相交于A，B兩點，O為坐標原點，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　B
解析　由題意，知|F2A|＝＝b，又＝2，則|AB|＝，|OA|＝＝＝a，所以a2＝，得2a2＝c2－a2，即3a2＝c2，e2＝＝3，從而e＝.故選B.
3．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A． B．
C．(1,2] D．[，＋∞]
答案　B
解析　由雙曲線定義，知|PF1|－|PF2|＝2a，結(jié)合|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝，從而≥c－a，得≥c，所以e＝≤，又雙曲線的離心率大于1，所以雙曲線離心率的取值范圍為.
題型四　直線與雙曲線的綜合問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．過雙曲線M：x2－＝1的左焦點F作圓C：x2＋(y－3)2＝的切線，此切線與M的左支、右支分別交于A，B兩點，則線段AB的中點到x軸的距離為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由題意知，切線過雙曲線的左焦點F(－2,0)，且切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程為y－0＝k(x＋2)，易知＝，解得k＝1或k＝.當k＝時，切線不與雙曲線M的右支相交，故舍去，所以切線方程為y＝x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即線段AB中點的縱坐標為3，所以線段AB的中點到x軸的距離為3.
2．已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.
(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數(shù)k的值．
解　(1)若雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，
則方程組有兩個不同的實數(shù)根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－x2時，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又因為－0)的右焦點F的坐標為(c,0)．由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故選A.
7．已知雙曲線C：x2－＝1，經(jīng)過點M(2,1)的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且M為AB的中點，則直線l的方程為(　　)
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
答案　A
解析　設(shè)A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則兩式相減得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因為M(2，1)是線段AB的中點，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直線l的方程為y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
8．(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B為焦點，且過C，D兩點的雙曲線的離心率為________．
答案　
解析　解法一：不妨設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則c＝＝6.①
如圖1，在－＝1中，令x＝6，得y2＝b2，
即b2＝25.②
由①②解得所以a＝4，
所以離心率e＝＝.

解法二：如圖2，不妨設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，易知AC＝13.由雙曲線的定義可知2a＝|AC|－|BC|＝8，即a＝4.又c＝|AB|＝6，所以離心率e＝＝.
9．(2020·武漢摸底)已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為________．
答案?。?
解析　由題意可知A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．
設(shè)P(x，y)(x≥1)，
則＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因為x≥1，函數(shù)f(x)＝4x2－x－5的圖象的對稱軸為x＝，所以當x＝1時，·取得最小值－2.
10．P是雙曲線－＝1右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，且焦距為2c，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標是________．
答案　a
解析　∵點P是雙曲線右支上一點，
∴由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，
若設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓圓心在x軸上的投影為A(x,0)，則該點也是內(nèi)切圓與x軸的切點．
設(shè)B，C分別為內(nèi)切圓與PF1，PF2的切點．
由切線長定理，則有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標為a.
　組　能力關(guān)
1．(2019·廈門一模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
答案　B
解析　設(shè)雙曲線的另一個焦點為F′，由OA＝OB＝OF＝OF′＝c，知圓的方程為x2＋y2＝c2，點F(－c,0)到直線y＝－x(即bx＋ay＝0)的距離為＝b，所以S△ABF＝·2c·b＝8，即bc＝8.
由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，所以C的漸近線方程為y＝±x.
2．(2019·河南六市第二次聯(lián)考)已知直線y＝2b與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的斜率為正的漸近線交于點A，雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若tan∠AF2F1＝，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B．2
C．4或 D．4
答案　D
解析　由得點A(2a,2b)，所以tan∠AF2F1＝＝.所以4b2＝15(4a2－4ac＋c2)，即4(c2－a2)＝15(4a2－4ac＋c2)，即64a2－60ac＋11c2＝0，所以11e2－60e＋64＝0.解得e＝4或e＝.經(jīng)檢驗，當e＝時，tan∠AF2F1＝－，不符合題意，所以雙曲線的離心率為4.
3．過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
答案　C
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝，由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4滿足題意．當直線l的斜率存在時，其方程為y＝k(x－)，
由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.
當2－k2＝0時，不符合題意，
當2－k2≠0時，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝·＝＝4，
解得k＝±.綜上可知，這樣的直線有3條．
4．(2019·成都七中高三上學(xué)期入學(xué)考試)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)上存在點P與右焦點F關(guān)于其漸近線對稱，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　D
解析　過右焦點F且與漸近線垂直的直線方程為y＝±(x－c)，不妨取直線y＝－(x－c)．設(shè)漸近線y＝x與直線y＝－(x－c)的交點為M.
聯(lián)立解得x＝故點M的坐標為.由中點坐標公式，得點P的坐標為.將其代入雙曲線的方程，得－＝1，化簡，得c2＝5a2，由此，得e＝＝.
5．已知等腰三角形ABC的底邊端點A，B在雙曲線－＝1的右支上，頂點C在x軸上，且AB不垂直于x軸，則頂點C的橫坐標t的取值范圍是________．
答案　
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，則x0>.根據(jù)題意，得兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，于是x0(x1－x2)－2y0(y1－y2)＝0，即kAB＝＝.又kMC＝，由kMC·kAB＝·＝－1，得x0＋2(x0－t)＝0，即t＝>.
6．已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當△APF的周長最小時，該三角形的面積為________．
答案　12
解析　如圖，設(shè)雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線方程x2－＝1，可知a＝1，c＝3，故F(3,0)，F(xiàn)1(－3,0)．
當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線的定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長為|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因為|AF|＝＝15為定值，
所以當|AP|＋|PF1|最小時，

△APF的周長最小，由圖象可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)．
由題意可知直線AF1的方程為
y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.
7．(2020·濟南摸底)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程是2x－y＝0，則雙曲線E的離心率e＝________；若雙曲線E的實軸長為2，過雙曲線E的右焦點F可作兩條直線與圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案　3　(－3,5)
解析　因為雙曲線E的一條漸近線的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝＝＝＝3.又因為雙曲線E的實軸長為2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(xiàn)(3，0)．由題意得右焦點F在圓C外，
所以需滿足條件
解得－30)，則由題意得解得故雙曲線的方程是3x2－y2＝1.
(2)聯(lián)立得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0且3－k2≠0，得－0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標．
解　(1)由題意，知a＝2，∴一條漸近線為y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝.
∴b2＝3，∴雙曲線的方程為－＝1.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0，
則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，
∴t＝4，點D的坐標為(4，3)．