第4講　隨機(jī)事件的概率
[考綱解讀]　1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別．
2．會(huì)用頻率估計(jì)概率，掌握概率的基本性質(zhì)．(重點(diǎn))
3．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．(難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來(lái)看，本講內(nèi)容一般不作獨(dú)立考查，預(yù)測(cè)2021年將會(huì)考查：①對(duì)立、互斥與古典概型結(jié)合考查隨機(jī)事件概率的計(jì)算；②隨機(jī)事件與統(tǒng)計(jì)圖表相結(jié)合考查用頻率估計(jì)概率．試題難度不大，屬中、低檔題型.

1.事件的分類(lèi)

2．頻率和概率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
A∩B＝?且
A∪B＝U
4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對(duì)立事件的概率
若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．

1．概念辨析
(1)“方程x2＋x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件．(　　)
(2)頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)變化而變化，而概率是一個(gè)常數(shù)．(　　)
(3)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生．(　　)
(4)對(duì)于任意事件A，B，總有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(　　)
(5)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2．小題熱身
(1)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(　　)
A．是互斥事件，不是對(duì)立事件
B．是對(duì)立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件
D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件
答案　C
解析　3名男生和2名女生，從中任選2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對(duì)立事件．
(2)給出下列三個(gè)命題，其中正確的命題有________個(gè)．
①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；
②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；
③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．
答案　0
解析　由概率的概念，知從中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，則①是假命題；拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率是，不是，則②是假命題；頻率和概率不是同一個(gè)概念，則③是假命題．綜上可知，正確的命題有0個(gè)．
(3)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為_(kāi)_______．
答案　0.35
解析　“抽到的不是一等品”與“抽到一等品”是對(duì)立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
(4)劉老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是劉老師這門(mén)課3年來(lái)學(xué)生的考試成績(jī)分布：
成績(jī)
人數(shù)
90分以上
42
80～89分
172
70～79分
240
60～69分
86
50～59分
52
50分以下
8
經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修劉老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)他得以下分?jǐn)?shù)的概率：
①90分以上的概率是________；
②不及格(60分及以上為及格)的概率是________．
答案　①0.07?、?.1
解析　用已有的信息估計(jì)王小明得90分以上的概率為＝0.07，不及格的概率為＝0.1.

題型一　互斥、對(duì)立事件的判斷

1．有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非對(duì)立事件 B．對(duì)立事件
C．相互獨(dú)立事件 D．以上都不對(duì)
答案　A
解析　“甲向南”與“乙向南”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但有可能都不發(fā)生，所以這兩個(gè)事件互斥但不對(duì)立．
2．從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，則下列各對(duì)事件是互斥而不是對(duì)立事件的是(　　)
A．恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)
B．恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù)
C．至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)
D．至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是偶數(shù)
答案　A
解析　從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，共有三種情況：A＝{兩個(gè)奇數(shù)}，B＝{一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)}，C＝{兩個(gè)偶數(shù)}，且兩兩互斥，A中兩個(gè)事件是互斥事件而不是對(duì)立事件；B，C，D中兩個(gè)事件不互斥．

判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法
(1)定義法
判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，在任何一次試驗(yàn)中，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．

某小組有3名男生和2名女生，從中選2名同學(xué)去參加演講比賽，下列有4個(gè)事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序號(hào))．
答案?、佗?br /> 解析　對(duì)于事件①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；對(duì)于事件②，至少有1名男生和至少有1名女生兩者有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于事件④，至少有1名男生和全是女生不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件．
題型二　隨機(jī)事件的頻率與概率

1．(2019·石家莊模擬)袋中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“和”“諧”“校”“園”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“和”“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1,2,3,4代表“和”“諧”“?！薄皥@”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：
343　432　341　342　234　142　243　331　112
342　241　244　431　233　214　344　142　134
由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由題意，得隨機(jī)數(shù)的前兩位只能出現(xiàn)1或2中的一個(gè)，第三位出現(xiàn)另外一個(gè)，所以滿足條件的隨機(jī)數(shù)為142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率為＝.故選C.
2．某教授為了測(cè)試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10道智力題，每道題10分，然后作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表．
貧困地區(qū)
參加測(cè)試的人數(shù)
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人數(shù)
16
27
52
104
256
402
得60分以上的頻率






發(fā)達(dá)地區(qū)
參加測(cè)試的人數(shù)
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人數(shù)
17
29
56
111
276
440
得60分以上的頻率






(1)計(jì)算兩地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的頻率(保留兩位小數(shù))；
(2)根據(jù)頻率估計(jì)兩地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的概率．
解　(1)貧困地區(qū)表格從左到右分別為0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；發(fā)達(dá)地區(qū)表格從左到右分別為0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.
(2)根據(jù)頻率估計(jì)貧困地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的概率為0.52，發(fā)達(dá)地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的概率為0.56.

1．概率與頻率的關(guān)系

2．隨機(jī)事件概率的求法


對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽樣檢查，結(jié)果如表：
抽取件數(shù)n
50
100
200
500
600
700
800
次品件數(shù)m
0
2
12
27
27
35
40
次品率







(1)求次品出現(xiàn)的頻率(次品率)；
(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；
(3)為了保證買(mǎi)到次品的顧客能夠及時(shí)更換，銷(xiāo)售1000件襯衣，至少需進(jìn)貨多少件？
解　(1)次品率依次為0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.
(2)由(1)，知出現(xiàn)次品的頻率在0.05附近擺動(dòng)，故P(A)＝0.05.
(3)設(shè)需進(jìn)貨x件，則x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需進(jìn)貨1053件．
題型三　互斥事件與對(duì)立事件的概率　

角度1　互斥事件概率公式的應(yīng)用
1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案　B
解析　設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，事件C為既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因?yàn)镻(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故選B.
角度2　對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用
2．某班選派5人參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獲獎(jiǎng)的人數(shù)及其概率如下：
獲獎(jiǎng)人數(shù)/人
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過(guò)2人的概率為0.56，求x的值；
(2)若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．
解　記事件“在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有k人獲獎(jiǎng)”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥．
(1)∵獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過(guò)2人的概率為0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
解得x＝0.3.
(2)由獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少3人的概率為0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.

求復(fù)雜的互斥事件概率的方法
(1)直接法

(2)間接法(正難則反)


1．(2019·天津紅橋一模)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：
排隊(duì)人數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
則該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí)，至少有2人排隊(duì)的概率是________．
答案　0.74
解析　由已知條件可得，至少有2人排隊(duì)的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
2．某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．
一次購(gòu)物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；
(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率(將頻率視為概率)．
解　(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為
＝1.9(分鐘)．
(2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”和事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為.

　組　基礎(chǔ)關(guān)
1．(2019·銀川四校聯(lián)考)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．事件A的概率P(A)必滿足0

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