2021屆高考數(shù)學人教版一輪創(chuàng)新教學案：第5章第4講數(shù)列求和-學案下載-教習網(wǎng)

第4講　數(shù)列求和

[考綱解讀]　1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．(重點)
2．熟練掌握另外幾種非等差、等比數(shù)列求和的常見方法．(難點)
[考向預測]　從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的熱點，主要考查“錯位相減”“裂項相消”“等差、等比數(shù)列的公式求和”等．預測2021年高考會考查數(shù)列求和或數(shù)列求和與不等式的綜合．此類問題一般以解答題為主，以中檔題型為主.

1.基本數(shù)列求和公式法
(1)等差數(shù)列求和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列求和公式：
Sn＝
2．非基本數(shù)列求和常用方法
(1)倒序相加法；(2)分組求和法；(3)并項求和法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法．
常見的裂項公式：
①＝；
②＝；
③＝；
④＝(－)．
3．常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝；
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.

1．概念辨析
(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有＝.(　　)
(2)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　)
(4)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N*)首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　B
解析　∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.
(2)數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
答案　A
解析　該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
(3)數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于(　　)
A．200 B．－200
C．400 D．－400
答案　B
解析　設bn＝4n－3，則{bn}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，
an＝(－1)n－1bn.
S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋(b99－b100)
＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)數(shù)列{an}的通項公式為an＝ncos，其前n項和為Sn，則S2021等于(　　)
A．－1010 B．2018
C．505 D．1010
答案　D
解析　易知a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項為0，前2020項中所有偶數(shù)項(共1010項)依次為－2,4，－6,8，…，－2018，2020.故S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故選D.

題型一　分組轉化法求和

1．(2019·信陽模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項和為(　　)
A．1121 B．1122
C．1123 D．1124
答案　C
解析　由題意知，數(shù)列{a2n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項和為＋10×1＋×2＝1123.
2．(2019·中山調研)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)證明：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解　(1)證明：由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n，
所以數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＋.

分組轉化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．如舉例說明2(2)．
(2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．如舉例說明1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝2，a4＝8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足b2＝4，b5＝32.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn.
解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意得d＝＝2，
所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
設等比數(shù)列{bn}的公比為q，
由題意得q3＝＝8，解得q＝2.
因為b1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.
題型二　裂項相消法、并項法求和　

1．在數(shù)列{an}中，an＝n，n∈N*，前50個偶數(shù)的平方和與前50個奇數(shù)的平方和的差是(　　)
A．0 B．5050
C．2525 D．－5050
答案　B
解析　(22＋42＋…＋1002)－(12＋32＋…＋992)＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋11＋…＋195＋199＝＝5050.
2．(2019·石家莊模擬)已知數(shù)列{an}是首項為1的等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，且a2＋a3＝12.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解　(1)設數(shù)列{an}的公比為q.
由a2＋a3＝12，a1＝1，得q＋q2＝12，
解得q＝3或q＝－4.
因為數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，所以q>0，所以q＝3，所以an＝3n－1.
(2)因為bn＝＝＝，
所以Sn＝＝＝－.
條件探究　將本例中的條件改為“an＝2n，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn＝(－1)n－1·”，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解　因為an＝2n，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以
Sn＝＝n(n＋1)，
則bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1·.
所以Tn＝－＋…＋(－1)n－1＝1＋(－1)n－1.

1．幾種常見的裂項相消及解題策略
(1)常見的裂項方法(其中n為正整數(shù))
數(shù)列
裂項方法

(k為非零常數(shù))
＝

＝

＝(－)

(a>0，a≠1)
loga＝loga(n＋1)－logan
{an}為等差數(shù)列，公差
為d(d≠0)，
＝

(2)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項(如舉例說明2)，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使前后相等．
2．并項求和法
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．如舉例說明1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，若前n項和為10，則項數(shù)n為________．
答案　120
解析　因為an＝＝－，
所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，又因為Sn＝10，
所以－1＝10，解得n＝120.
2．(2019·長春二模)各項均為整數(shù)的等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{(－1)n·an}的前2n項和T2n.
解　(1)各項均為整數(shù)的等差數(shù)列{an}，設公差為d，則d為整數(shù)，
由a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比數(shù)列，
可得a＝a2(1＋S4)，
即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，
可得d＝2，
所以an＝2n－3.
(2)由(1)可得
T2n＝－a1＋a2－a3＋a4＋…－a2n－1＋a2n
＝(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(5－4n＋4n－3)
＝2＋2＋…＋2＝2n.
題型三　錯位相減法求和

(2019·成都模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，設bn＝，n∈N*.
(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求通項公式bn；
(2)設cn＝bn·2n－1，且數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，若λ∈R，求使Sn－1≤λcn恒成立的λ的取值范圍．
解　(1)由條件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝＝1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n.
(2)由(1)知，cn＝n·2n－1，
則Sn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，①
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n.②
由①－②得，－Sn＝20＋21＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝－1＋(1－n)·2n，
∴Sn＝1＋(n－1)·2n.
∵cn>0，∴Sn－1≤λcn恒成立，等價于λ≥對任意n∈N*恒成立．
∵＝＝2－0且
解得d＝2，q＝2.
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)＝.
Sn＝1＋＋＋…＋＋，①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋，②
②－①得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－＝2＋2×－＝2＋2×－＝6－.

　組　基礎關
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－n，則其前20項和為(　　)
A．379＋ B．399＋
C．419＋ D．439＋
答案　C
解析　S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2×(1＋2＋…＋20)－＝2×－＝420－1＋＝419＋.
2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，則S60的值為(　　)
A．990 B．1000
C．1100 D．99
答案　A
解析　當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝1＋(－1)n＝0，可得a1＝a3＝…＝a59＝2，當n為偶數(shù)時，an＋2－an＝1＋(－1)n＝2，可得由偶數(shù)項構成的數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．所以a2＋a4＋…＋a60＝30×2＋×2＝930.所以S60＝(a1＋a3＋…＋a59)＋(a2＋a4＋…＋a60)＝30×2＋930＝990.
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于(　　)
A. B．－
C．(－1)n＋1 D．以上答案均不對
答案　C
解析　1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝1＋(3－2)×(2＋3)＋(5－4)×(4＋5)＋…＝1＋2＋3＋4＋5＋…，當n為偶數(shù)時，
1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1·n2＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)－n2＝－n2＝－；當n為奇數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1·n2＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n＝.綜上，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.
4．(2020·汕頭摸底)已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}的前2019項和為(　　)
A．5 B．－4
C．0 D．－2
答案　B
解析　由“凸數(shù)列”的定義及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，∴數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0,2019＝336×6＋3，于是數(shù)列{bn}的前2019項和為336×0＋b1＋b2＋b3＝－4.
5．化簡Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結果是(　　)
A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2
答案　D
解析　因為Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②
所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.
6．(2019·湖北襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構造數(shù)列1，，，，…，.①
第二步：將數(shù)列①的各項乘以，得到一個新數(shù)列a1，a2，a3，…，an.
則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由題意知所得新數(shù)列為1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝＝＝＝.
7．已知數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，其前n項和為Sn，若an＋1＝且a1＝5，則S2020＝(　　)
A．4740 B．4737
C．12095 D．12002
答案　B
解析　依題意an＋1＝且a1＝5，a2＝3×5＋1＝16，a3＝＝8，a4＝＝4，a5＝＝2，a6＝＝1，a7＝3×1＋1＝4，…所以數(shù)列{an}從第四項起構成周期為3的周期數(shù)列．因為2020＝3＋3×672＋1，所以S2020＝5＋16＋8＋(4＋2＋1)×672＋4＝4737.
8．(2019·棗莊模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項和為________．
答案　
解析　等差數(shù)列{an}中，∵a5＝5，S5＝15，
∴解得a1＝1，d＝1，
∴an＝1＋(n－1)＝n，∴＝＝－，
∴數(shù)列的前100項和S100＝＋＋＋…＋＝1－＝.
9．(2020·商丘質檢)有窮數(shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有項的和為________．
答案　2n＋1－n－2
解析　因為1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n
＝－n＝2n＋1－n－2.
10．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝－1，a4＋a12＝－12，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________；若數(shù)列的前n項和為Sn，則使Sn>的最大正整數(shù)n為________．
答案　2－n　5
解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知可得解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n.
Sn＝a1＋＋…＋，①
＝＋＋…＋.②
①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝，
所以Sn＝，由Sn＝>，得0