第2講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[考綱解讀] 1.理解等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．(重點(diǎn))
2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并熟練掌握其推導(dǎo)方法，能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)] 從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2021年高考將會(huì)以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為an＋1－an＝d(n∈N*)，d為常數(shù)．
(2)等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a和b的等差中項(xiàng)，且A＝.
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d，可推廣為an＝am＋ (n－m)d(n，m∈N*)．
(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*)．
3．等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)
已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和．
(1)等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特別地，若m＋n＝2p，則2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)．
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列，公差為n2d.
(4)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差為d.
4．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
an＝a1＋(n－1)d可化為an＝dn＋a1－d的形式．當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d0，d0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．
解 (1)設(shè){an}的公差為d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知dS5，則滿足SnSn＋1S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a70，所以{an}為遞減數(shù)列，又S13＝＝13a70，所以S12S13

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