2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第60課數(shù)列的概念及簡單表示

第60課　數(shù)列的概念及簡單表示1. 數(shù)列的概念及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(A級要求).2. 數(shù)列的幾種簡單表示方法(列表、圖象、通項公式)(A級要求).1. 閱讀：必修5第31～34頁.2. 解悟：①讀懂?dāng)?shù)列的定義，并與函數(shù)的定義作比較；②寫出數(shù)列的通項公式，就是尋找an與n的對應(yīng)關(guān)系an＝f(n)；③重解第33頁例3，體會方法.3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成第34頁習(xí)題第7、8、9題.　基礎(chǔ)診斷　1. 數(shù)列1，2，，，，…中的第26項為　2　.解析：因為a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.2. 下列四個圖形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列{an}的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為　an＝3n－1　　　. (1)　　　　　(2)　　　　　(3)　　　  　(4)解析：由圖可知前4個圖中著色三角形的個數(shù)分別為1，3，32，33，…，猜想第n個圖的著色三角形的個數(shù)為3n－1，所以這個數(shù)列的通項公式為an＝3n－1.3. 已知在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，則a16＝　　.解析：由題意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，所以此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以a16＝a3×5＋1＝a1＝.4. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝　　.　解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝　范例導(dǎo)航　考向?  數(shù)列的通項公式例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：(1) －1，7，－13，19，…； 解析：(1) 數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5).(2) 1，0，，0，，0，，…； 解析：(2) 分母依次為1，2，3，4，5，6，7，…，分子依次為1，0，1，0，1，0，1，…，把數(shù)列改寫成，，，，，，，…，因此數(shù)列的一個通項公式為an＝.(3) 0.9，0.99，0.999，…. 解析：(3) 數(shù)列可改寫成1－，1－，1－，…，可得該數(shù)列的一個通項公式為an＝1－.數(shù)列，，－，，－，，…，的一個通項公式是　an＝(－1)n·　.解析：各項的分母分別為21，22，23，24，…，從第2項起，每一項的絕對值的分子分別比分母小3，因此把第1項變?yōu)椋?/span>，原數(shù)列化為－，，－，，…，故an＝(－1)n·.【注】 由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略：(1) 常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.(2) 具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*進行處理.考向?  由an與Sn的關(guān)系求通項公式例2　已知下列數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列{an}的通項公式.(1) a1＝1，Sn＝an；(2) Sn＝3n＋b；(3) Sn＝an＋.解析：(1) 由題設(shè)知a1＝1.當(dāng)n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝an－·an－1，整理得an＝an－1，于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.將上面n個等式兩端分別相乘，整理得an＝，顯然，當(dāng)n＝1時也滿足上式.綜上可知，數(shù)列{an}的通項公式an＝.(2) 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋b；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.當(dāng)b＝－1時，a1＝2，滿足上式；當(dāng)b≠－1時，a1≠2，不滿足上式，所以當(dāng)b＝－1時，an＝2×3n－1；當(dāng)b≠－1時，an＝(3) 由Sn＝an＋，得當(dāng)n≥2時，Sn－1＝an－1＋，兩式相減，得an＝an－an－1，所以當(dāng)n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2.又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1，所以an＝(－2)n－1.已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝4－(n∈N*).(1) 求a3的值；(2) 求數(shù)列{an}的前n項和Tn.解析：(1) 由題意得3a3＝(a1＋2a2＋3a3)－(a1＋2a2)＝4－－＝，所以a3＝.(2) 由題設(shè)知當(dāng)n≥2時，nan＝(a1＋2a2＋…＋nan)－[a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1]＝4－－＝，所以an＝.當(dāng)n＝1時，a1＝4－＝1滿足上式，所以an＝，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故Tn＝＝2－.【注】 已知Sn，求an的步驟：①當(dāng)n＝1時，a1＝S1；②當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1；③對n＝1時的情況進行檢驗，若滿足n≥2的通項公式則可以合并；若不滿足則寫成分段函數(shù)形式.這種轉(zhuǎn)化是解決這種題型的基本思路，要重點掌握.考向?  數(shù)列的性質(zhì)例3　已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)·(n∈N*)，則數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項；若沒有，請說明理由.解析：因為an＋1－an＝·，所以當(dāng)n<9時，an＋1>an；當(dāng)n>9時，an＋1<an，則當(dāng)n<9時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)n>9時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)n＝9時，an＋1＝an，所以當(dāng)n＝9或10時，數(shù)列取得最大項a9＝a10＝.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是　0　.解析：因為an＝－3＋，由二次函數(shù)的性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時，an最大，最大值為0.【注】 (1) 解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法：①用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；②用作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與1的大小關(guān)系進行判斷；③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.(2) 解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(3) 數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解.　自測反饋　1. 數(shù)列0.8，0.88，0.888，…，的一個通項公式是　an＝　.解析：數(shù)列變?yōu)?/span>×(1－)，×，×，…，故an＝. 2. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為　an＝　解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－1，所以an＝3. 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝　　.解析：因為an＋1＝，所以an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，所以數(shù)列{an}是以T＝(n＋1)－(n－2)＝3為周期的周期數(shù)列，所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.又a2＝，所以a1＝.4. 若數(shù)列{an}滿足an＋1＝a1＝，則數(shù)列的第2 015項為　　.解析：由已知可得a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，所以數(shù)列{an}為周期數(shù)列且T＝4，所以a2 015＝a503×4＋3＝a3＝. 1. 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.2. 通項公式an與前n項和Sn的關(guān)系是一個十分重要的考點，運用時，不要忘記對an＝Sn－Sn－1的條件的驗證.3. 你還有那些體悟，寫下來：