2020版高考數(shù)學（理）新增分大一輪人教通用版講義：第九章　平面解析幾何9.8-學案下載-教習網(wǎng)

最新考綱
考情考向分析
1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．
2.了解解析幾何的基本思想，利用坐標法研究曲線的簡單性質(zhì)．
3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.
以考查曲線的軌跡、軌跡方程為主．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，題目為中檔題，有時也會在選擇、填空題中出現(xiàn).

1．曲線與方程的定義
一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應關系：

那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
2．求動點的軌跡方程的基本步驟

概念方法微思考
1．f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件嗎？
提示　是．如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，則曲線C上的點的坐標滿足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解為坐標的點也都在曲線C上，故f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．
2．方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線嗎？
提示　不是同一曲線．
3．若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡是什么圖形？
提示　依題意知，點P到直線x＝－2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡是拋物線．
4．曲線的交點與方程組的關系是怎樣的？
提示　曲線的交點與方程組的關系
(1)兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；
(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點和一條直線．(　×　)
(2)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.(　×　)
(3)y＝kx與x＝y(tǒng)表示同一直線．(　×　)
(4)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的．(　×　)
題組二　教材改編
2．已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點，若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．橢圓
C．圓 D．拋物線
答案　D
解析　由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，
點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線．
3．曲線C：xy＝2上任一點到兩坐標軸的距離之積為______．
答案　2
解析　在曲線xy＝2上任取一點(x0，y0)，則x0y0＝2，
該點到兩坐標軸的距離之積為|x0||y0|＝|x0y0|＝2.
4．若過點P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸，y軸交于A，B兩點，則AB中點M的軌跡方程為__________．
答案　x＋y－1＝0
解析　設M的坐標為(x，y)，則A，B兩點的坐標分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM，∵l1⊥l2.
∴|PM|＝|OM|，
而|PM|＝，|OM|＝.
∴＝，
化簡，得x＋y－1＝0，
即為所求的軌跡方程．
題組三　易錯自糾
5．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲線是(　　)
A．兩條直線 B．兩條射線
C．兩條線段 D．一條直線和一條射線
答案　D
解析　原方程可化為或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線．
6．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，則動點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線左支
C．一條射線 D．雙曲線右支
答案　C
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正確，應為以N為端點，沿x軸正向的一條射線．
7．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是________．
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　連接OP，則|OP|＝2，
∴P點的軌跡是去掉M，N兩點的圓，
∴方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．

題型一　定義法求軌跡方程
例1 已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程．
解　由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．
思維升華定義法求軌跡方程
(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程．
(2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制．
跟蹤訓練1 在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|BD|－|CD|＝2，則頂點A的軌跡方程為______________．
答案?。?(x>)
解析　以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E，F(xiàn)分別為兩個切點．

則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.
所以|AB|－|AC|＝2)．
題型二　直接法求軌跡方程
例2 (2016·全國Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．
(1)證明　由題意知，F(xiàn)，設l1：y＝a，l2：y＝b，
則ab≠0，
且A，B，P，Q，
R.
記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.
記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，
則k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解　設過AB的直線為l，
設l與x軸的交點為D(x1,0)，
則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，
S△PQF＝.
由題意可得|b－a|＝，
所以x1＝1或x1＝0(舍去)．
設滿足條件的AB的中點為E(x，y)．
當AB與x軸不垂直時，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．
當AB與x軸垂直時，E與D重合，
此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1.
所以所求軌跡方程為y2＝x－1.
思維升華直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．
跟蹤訓練2 (2018·沈陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，點P(a，b)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，已知△F1PF2為等腰三角形．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足·＝－2，求點M的軌跡方程．
解　(1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)．
由題意，可得|PF2|＝|F1F2|，
即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝，所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)．
A，B兩點的坐標滿足方程組
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
代入直線方程得
不妨設A，B(0，－c)．
設點M的坐標為(x，y)，則＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，
＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化簡得18x2－16xy－15＝0.
將y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.所以x>0.
因此，點M的軌跡方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
題型三　相關點法求軌跡方程
例3 如圖所示，拋物線E：y2＝2px(p>0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.

(1)求p的值；
(2)求動點M的軌跡方程．
解　(1)由點A的橫坐標為2，可得點A的坐標為(2,2)，
代入y2＝2px，解得p＝1.
(2)由(1)知拋物線E：y2＝2x.
設C，D，y1≠0，y2≠0，切線l1的斜率為k，則切線l1：y－y1＝k，代入y2＝2x，
得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，
∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋，
同理l2的方程為y＝x＋.
聯(lián)立解得
易知CD的方程為x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0滿足x＋y＝8，x0∈[2,2]，
由得x0y2＋2y0y－16＝0，
則代入
可得M(x，y)滿足可得
代入x＋y＝8，并化簡，得－y2＝1，
考慮到x0∈[2,2]，知x∈[－4，－2]，
∴動點M的軌跡方程為－y2＝1，x∈[－4，－2]．
思維升華 “相關點法”的基本步驟
(1)設點：設被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x1，y1)；
(2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式

(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程．
(4)檢驗：注意檢驗方程是否符合題意．
跟蹤訓練3 (2018·包頭調(diào)研)如圖，動圓C1：x2＋y2＝t2,10)
D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
答案　A
解析　設A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，
得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，所以
即a＝x>0，b＝3y>0.
由題意得，點Q(－x，y)，
故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
即ax＋by＝1.將a，b代入ax＋by＝1得所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．故選A.
5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，給出△ABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程．
下表給出了一些條件及方程：
條件
方程
①△ABC周長為10
C1：y2＝25
②△ABC面積為10
C2：x2＋y2＝4(y≠0)
③△ABC中，∠A＝90°
C3：＋＝1(y≠0)

則滿足條件①，②，③的軌跡方程依次為(　　)
A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3
C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2
答案　A
解析?、佟鰽BC的周長為10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此時動點A的軌跡為橢圓，與C3對應；②ABC的面積為10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，與C1對應；③因為∠A＝90°，所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，與C2對應．故選A.
6．(2018·撫順模擬)如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB＝30°，則點P的軌跡是(　　)

A．直線 B．拋物線
C．橢圓 D．雙曲線的一支
答案　C
解析　可構造如圖所示的圓錐．母線與中軸線夾角為30°，然后用平面α去截，使直線AB與平面α的夾角為60°，則截口為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓．故選C.

7．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為________．
答案　4π
解析　設P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，
即x2＋y2－4x＝0.
∴P的軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓．
即軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.
8．直線＋＝1與x，y軸交點的中點的軌跡方程是______________．
答案　x＋y＝1(x≠0且x≠1)
解析　直線＋＝1與x，y軸的交點為A(a,0)，B(0，2－a)，設AB的中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因為a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.
9．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點A(－1,0)，B(1,0)且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點的軌跡方程是______________．
答案?。?(y≠0)
解析　設拋物線焦點為F，過A，B，O作準線的垂線AA1，BB1，OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4>2，故F點的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)．
10.如圖，P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，且＝＋，則動點Q的軌跡方程是____________．

答案?。?
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
設Q(x，y)，則＝－＝，
即P點坐標為，
又P在橢圓上，
則有＋＝1，即＋＝1.
11．已知定圓M：(x－3)2＋y2＝16和圓M所在平面內(nèi)一定點A，點P是圓M上一動點，線段PA的垂直平分線l交直線PM于點Q.
(1)討論Q點的軌跡可能是下面的情形中的哪幾種：
①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個點．
(2)若定點A(5,0)，試求△QMA的面積的最大值．
解　(1)由題意知|QP|＝|QA|，
①當A在圓M外時，|MA|>4，
且||QA|－|QM||＝|PM|＝40，
得k20)上的動點，且滿足＋≤2，則a＋b的取值范圍為(　　)
A．[2，＋∞) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．(0,2]
答案　A
解析　設F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，
則滿足＋＝2的點P的軌跡是以F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)為焦點的橢圓，其方程為＋＝1.曲線a|x|＋b|y|＝1(a>0，b>0)為如圖所示的菱形ABCD，

C，D.
由于＋≤2，
所以菱形ABCD在橢圓上或其內(nèi)部，
所以≤1，≤，即a≥1，b≥.
所以a＋b≥1＋×＝2.故選A.

15．已知過點A(－3,0)的直線與x＝3相交于點C，過點B(3，0)的直線與x＝－3相交于點D，若直線CD與圓x2＋y2＝9相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為______________．
答案?。?(y≠0)
解析　設點M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，則直線CD的方程為(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因為直線CD與圓x2＋y2＝9相切，所以＝3，所以mn＝9，又直線AC與BD的交點為M，
所以解得
所以－＝9，
所以點M的軌跡方程為＋＝1(y≠0)．
16．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－2,0)和F 2(2,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a2>4)的點的軌跡．給出下列三個結論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于坐標原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2.
其中，所有正確結論的序號是________．
答案?、冖?br /> 解析　因為原點O到兩個定點F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離的積是4，又a2>4，所以曲線C不過原點，即①錯誤；
設動點P在曲線C上，
因為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)關于原點對稱，所以|PF1|·|PF2|＝a2對應的軌跡關于原點對稱，即②正確；
因為＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
≤|PF1||PF2|＝a2，
即△F1PF2的面積不大于a2，即③正確．