1．直線的傾斜角?
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．
(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0.
(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定義式：直線l的傾斜角為α，則斜率k＝tan α.
(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)?在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝.
3．直線方程的5種形式
名稱
方程
適用條件
點(diǎn)斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x軸的直線
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
＝
不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式?
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面內(nèi)所有直線

平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．即直線與傾斜角是多對(duì)一的映射關(guān)系．
如果y2＝y(tǒng)1，x2≠x1，則直線與x軸平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，則直線與x軸垂直，傾斜角等于90°，斜率不存在．
斜率與傾斜角的關(guān)系
(1)當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
(2)當(dāng)直線l的傾斜角α∈時(shí)，α越大，直線l的斜率越大；當(dāng)α∈時(shí)，α越大，直線l的斜率越大．
(3)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率．
(4)已知傾斜角α的范圍，求斜率k的范圍，實(shí)質(zhì)是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范圍，求傾斜角α的范圍，實(shí)質(zhì)是在∪上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式問題，可借助正切函數(shù)圖象來解決此類問題．
(1)把直線Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化為下面的形式：
①化為截距式：Ax＋By＝－C，即＋＝1.
②化為斜截式：y＝－x－.
③化為點(diǎn)斜式：先求出直線過定點(diǎn)，k＝－，則點(diǎn)斜式為y－＝－(x－0)．
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)中，
若A＝0，則y＝－，它表示一條與y軸垂直的直線；
若B＝0，則x＝－，它表示一條與x軸垂直的直線.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　)
(2)過點(diǎn)M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.(　　)
(3)直線的傾斜角越大，斜率k就越大．(　　)
(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、選填題
1．若直線x＝2的傾斜角為α，則α的值為(　　)
A．0　　　　　　 B.
C. D．不存在
解析：選C　因?yàn)橹本€x＝2垂直于x軸，所以傾斜角α為.
2．直線x－y＋a＝0的傾斜角為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　設(shè)直線的傾斜角為α，則tan α＝，
∵α∈[0，π)，∴α＝.
3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選C　∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－x－，∴A·B＞0，－＞0，∴－＜0，∴直線Ax＋By＋C＝0經(jīng)過第一、二、四象限，故選C.
4．若過點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m＝________.
解析：由k＝＝1，得m＝1.
答案：1
5．過點(diǎn)P(2，－3)，傾斜角為45°的直線方程為_____________．
解析：由點(diǎn)斜式得直線方程為y－(－3)＝tan 45°(x－2)，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0

考點(diǎn)一 直線的傾斜角與斜率 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是(　　)
A．[0，π)　　　　　 B.∪
C. D.∪
(2)已知直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是________．
[解析]　(1)設(shè)直線的傾斜角為θ，
則有tan θ＝－sin α，
又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤或
≤θ＜π.
(2)如圖，因?yàn)閗AP＝＝1，
kBP＝＝－，
所以直線l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
[解題技法]
斜率取值范圍的2種求法
數(shù)形結(jié)合法
作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定
函數(shù)圖象法
根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可

[過關(guān)訓(xùn)練]
1.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　)
A．k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：選D　直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選D.
2．已知點(diǎn)(－1,2)和在直線l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同側(cè)，則直線l傾斜角的取值范圍是________．
解析：點(diǎn)(－1,2)和在直線l：ax－y＋1＝0同側(cè)的充要條件是(－a－2＋1)＞0，解得－＜a＜－1，即直線l的斜率的范圍是(－，－1)，故其傾斜角的取值范圍是.
答案：
考點(diǎn)二 直線的方程 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)求過點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程．
(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．
[解]　(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－，所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[解題技法]
求直線方程的方法
(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，求出方程中的系數(shù)，寫出直線方程；
(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件恰當(dāng)設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)解得系數(shù)，最后代入設(shè)出的直線方程．
[提醒]　(1)選擇直線方程時(shí)，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，先分類討論直線的斜率是否存在；選用截距式時(shí)，先分類討論在兩坐標(biāo)軸上的截距是否存在或是否為0.
(2)求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
[過關(guān)訓(xùn)練]
　求適合下列條件的直線方程：
(1)經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．
(2)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍．
(3)經(jīng)過點(diǎn)B(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形．
解：(1)設(shè)直線l在x軸，y軸上的截距均為a，
若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(4,1)，
所以l的方程為y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，設(shè)l的方程為＋＝1，
因?yàn)閘過點(diǎn)(4,1)，所以＋＝1，
所以a＝5，所以l的方程為x＋y－5＝0.
綜上可知，所求直線的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.
因?yàn)閠an α＝3，所以tan 2α＝＝－.
又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由題意可知，所求直線的斜率為±1.
又過點(diǎn)(3,4)，由點(diǎn)斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考點(diǎn)三 直線方程的綜合問題 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)(2019·成都模擬)已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為__________________．
(2)已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a＝________.
[解析]　(1)設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，則A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立．故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)直線l1可寫成a(x－2)＝2(y－2)，直線l2可寫成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故當(dāng)a＝時(shí)，四邊形的面積最?。?br /> [答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2)
[解題技法]
與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題．先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．
(3)求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．已知直線(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，當(dāng)此直線在x軸，y軸上的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A．1　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
解析：選D　當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因?yàn)閍＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 ＝9.
當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝，即a＝3時(shí)，等號(hào)成立．故選D.
2．過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，
O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．
解：設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)，
因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，所以＋＝1.
(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小，
此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因?yàn)椋?，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0.

一、題點(diǎn)全面練
1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析：選B　由題意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，－a＜0，－b＜0.選項(xiàng)B符合．
2．(2019·惠州質(zhì)檢)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率k的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　 B.
C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪
解析：選D　設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
3．在等腰三角形MON中，MO＝MN，點(diǎn)O(0,0)，M(－1,3)，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，則直線MN的方程為(　　)
A．3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：選C　因?yàn)镸O＝MN，所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù)，所以kMN＝－kMO＝3，所以直線MN的方程為y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，選C.
4．若直線x－2y＋b＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是(　　)
A．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：選C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面積為|－b|＝b2，且b≠0，因?yàn)閎2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]．
5．已知函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　由f ＝f 知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱，所以f(0)＝f ，所以－b＝a，則直線ax－by＋c＝0的斜率為k＝＝－1，又直線傾斜角的取值范圍為[0，π)，所以該直線的傾斜角為，故選D.
6．設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________．
解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值－2和最大值2.∴b的取值范圍是[－2,2]．
答案：[－2,2]
7．已知直線l過點(diǎn)(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為__________________．
解析：由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為α，2α，
因?yàn)橹本€l0：x－2y－2＝0的斜率為，則tan α＝，
所以直線l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，
所以由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
8.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1，0)的直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝x上時(shí)，則直線AB的方程為____________________________．
解析：由題意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
設(shè)A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中點(diǎn)C，
由點(diǎn)C在直線y＝x上，且A，P，B三點(diǎn)共線得

解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0.
答案：(3＋)x－2y－3－＝0
9．已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：
(1)過定點(diǎn)A(－3,4)；
(2)斜率為.
解：(1)由題意知，直線l存在斜率．
設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，
它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，
則直線l的方程為y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；
(3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程．
解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，
由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，
則x＝＝0，y＝＝2.
BC邊的中線AD經(jīng)過A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，
由截距式得AD所在直線的方程為＋＝1，
即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－，
則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.
由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)．
由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1．已知兩點(diǎn)M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－4]∪ B.
C. D.
解析：選A　如圖所示，
∵kPN＝＝，
kPM＝＝－4，
∴要使直線l與線段MN相交，
當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，k≥kPN；
當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，k≤kPM，
∴k≥或k≤－4.
2．直線l過點(diǎn)(－2,2)且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，則直線l的方程為________________．
解析：若a＝b＝0，則直線l過(0,0)與(－2,2)兩點(diǎn)，直線l的斜率k＝－1，直線l的方程為y＝－x，
即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，設(shè)直線l的方程為＋＝1，
由題意知解得
此時(shí)，直線l的方程為x－y＋4＝0.
答案：x＋y＝0或x－y＋4＝0
3．過點(diǎn)(－10,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為________________．
解析：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線的方程為x＋y＝0，滿足題意．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，把點(diǎn)(－10,10)代入可得a＝，故直線方程為＋＝1，即x＋4y－30＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋y＝0或x＋4y－30＝0.
答案：x＋y＝0或x＋4y－30＝0
(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移
4．[與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式交匯]若θ是直線l的傾斜角，且sin θ＋cos θ＝，則l的斜率為(　　)
A．－ B.－或－2
C.或2 D．－2
解析：選D　∵sin θ＋cos θ＝，①
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θ cos θ＝－，∴(sin θ－cos θ)2＝，
易知sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＝，②
由①②解得
∴tan θ＝－2，即l的斜率為－2.
5．[與不等式交匯]已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點(diǎn)；
(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．
解：(1)證明：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(－2,1)．
(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，
則直線l在y軸上的截距為2k＋1，
要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k≥0，
故k的取值范圍是.

(3)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．
又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)，取等號(hào)．
故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0.


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