1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)


相離
相切
相交
圖形



量化
方程觀點
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
幾何觀點
d＞r
d＝r
d＜r

2．圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R，r(R＞r)，則
位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
公共點個數(shù)
0
1
2
1
0
d，R，r的關(guān)系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切線條數(shù)
4
3
2
1
0

判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點
對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論．如當(dāng)Δ＜0時，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含；當(dāng)Δ＝0時，還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切．
[熟記常用結(jié)論]
1．圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓系方程
(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；
(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)．
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(　　)
(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　)
(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(　　)
(4)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、選填題
1．直線l：x＋y－4＝0與圓C：x2＋y2＝4的位置關(guān)系是(　　)
A．相交過圓心　　　　　 B．相交不過圓心
C．相切 D．相離
解析：選C　圓心坐標(biāo)為(0,0)，圓心到直線l的距離d＝＝2＝r，所以直線l與圓C相切．故選C.
2．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．外離 B.相交
C．外切 D．內(nèi)切
解析：選B　圓O1：(x－1)2＋y2＝1，
圓O2：x2＋(y－2)2＝4，
∵|O1O2|＝＝，
∴|2－1|＜|O1O2|＜2＋1，∴兩圓相交．故選B.
3．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B.[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：選C　由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，
所以≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故選C.
4．已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝________.
解析：因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得k＝0或k＝.
答案：0或
5．直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________.
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝，
又圓心(1,2)到直線3x－y－6＝0的距離為d＝＝，由2＝r2－d2，得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：

考點一 直線與圓的位置關(guān)系的判斷 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．相切
C．相離 D．不確定
(2)直線y＝－x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則m的取值范圍是(　　)
A．(，2) B.(，3)
C. D.
(3)若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是(　　)
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
[解析]　(1)法一：(代數(shù)法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因為Δ＝16m2＋20＞0，所以直線l與圓相交．
法二：(幾何法)由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離
d＝＜1＜，故直線l與圓相交．
法三：易得直線l過定點(1,1)．把點(1,1)代入圓的方程有1＋0＜，∴點(1,1)在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交．
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m＝1；當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離d＝＝1，解得m＝(切點在第一象限)，
所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，
則1＜m＜.
(3)計算得圓心到直線l的距離為＝＞1，如圖，直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離＋1.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)A
[解題技法]
判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法
幾何法
圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較小
代數(shù)法
將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　)
A．相切 B.相交
C．相離 D．不確定
解析：選B　因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1.所以直線與圓相交．
2．(2019·杭州模擬)若無論實數(shù)a取何值時，直線ax＋y＋a＋1＝0與圓x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，則實數(shù)b的取值范圍為(　　)
A．(－∞，2) B.(2，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
解析：選C　∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圓，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直線ax＋y＋a＋1＝0過定點(－1，－1)，∴點(－1，－1)在圓x2＋y2－2x－2y＋b＝0的內(nèi)部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范圍是(－∞，－6)．故選C.
3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為(　　)
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：選C　由圓的方程知圓心坐標(biāo)為(3,3)，半徑為3，如圖所示，因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點有3個．
考點二 圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．2
[解析]　由圓C1與圓C2外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.根據(jù)基本不等式可知ab≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，ab的最大值為.
[答案]　C
[解題技法]
圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是_________________．
解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，
圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.
依題意得0＜＜4，
∴0＜|a|＜2.∴a∈(－2，0)∪(0,2)．
答案：(－2，0)∪(0,2)
2．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？
(3)當(dāng)m＝45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
解：因為兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以兩圓的圓心分別為(1,3)，(5,6)，半徑分別為，，
(1)當(dāng)兩圓外切時，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因為定圓半徑小于兩圓圓心之間的距離5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
故兩圓的公共弦的長為
2 ＝2.
考點三 圓的弦長問題 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)(2019·太原模擬)若3a2＋3b2－4c2＝0，則直線ax＋by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝1所截得的弦長為(　　)
A.　　　　　　　　 B．1
C. D.
(2)(2019·成都模擬)已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且|AB|＝，則·的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D．0
[解析]　(1)因為a2＋b2＝c2，所以圓心O(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝＝，所以直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為2＝2×＝1，選B.
(2)在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
[答案]　(1)B　(2)A
[解題技法]
有關(guān)弦長問題的2種求法
幾何法
直線被圓截得的半弦長，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝2＋d2
代數(shù)法
聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y軸所得線段與截直線y＝2x＋b所得線段的長度相等，則b＝(　　)
A．－ B.±
C．－ D．±
解析：選D　記圓C與y軸的兩個交點分別是A，B，由圓心C到y(tǒng)軸的距離為1，|CA|＝|CB|＝可知，圓心C(1,2)到直線2x－y＋b＝0的距離也等于1才符合題意，于是＝1，解得b＝±.
2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：
設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的兩根，所以x1x2＝－2，又點C的坐標(biāo)為(0,1)，則·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．
(2)證明：設(shè)過A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D，由x1x2＝－2可知原點O在圓內(nèi)，則由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2.
又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為|OC|＋|OD|＝3，為定值．
考點四 圓的切線問題 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
已知點P(＋1,2－)，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點P的圓C的切線方程；
(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．
[解]　由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴點P在圓C上．
又kPC＝＝－1，
∴切線的斜率k＝－＝1.
∴過點P的圓C的切線方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴點M在圓C外部．
當(dāng)過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，
即x－3＝0.
又點C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
即此時滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝ ，
∴過點M的圓C的切線長為＝＝1.
[解題技法]
1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－，由點斜式可寫出切線方程．
2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法
幾何法
當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程
代數(shù)法
當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出

[提醒]　當(dāng)點(x0，y0)在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2019·杭州模擬)由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C. D．3
解析：選C　切線長的最小值是當(dāng)直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝＝2，故切線長的最小值為＝.
2．(2018·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是(　　)
A．3 B.4
C．2 D．8
解析：選B　連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點C.在Rt△O1AO2中，
sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故選B.
考點五 直線與圓的綜合問題[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；
(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；
(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
解：(1)因為圓C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化為(x－3)2＋y2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)．
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，M(x0，y0)，
則x0＝，y0＝.
由題意可知直線l的斜率必存在，
設(shè)直線l的方程為y＝tx.
將上述方程代入圓C1的方程，
化簡得(1＋t2)x2－6x＋5＝0.
由題意，可得x1＋x2＝，Δ＝36－20(1＋t2)＞0，(*)
所以x0＝，代入直線l的方程，得y0＝.
因為x＋y＝＋＝＝＝3x0，
所以2＋y＝.
由(*)解得t2＜.又t2≥0，所以＜x0≤3.
所以線段AB的中點M的軌跡C的方程為2＋y2＝.
(3)存在實數(shù)k滿足條件．由(2)知，曲線C是在區(qū)間上的一段圓?。?br /> 如圖，D，E，F(xiàn)(3,0)，
直線L過定點G(4,0)．
聯(lián)立直線L的方程與曲線C的方程，消去y整理得
(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.
由Δ＝0，解得k＝±，
由求根公式解得交點的橫坐標(biāo)為x＝∈，
由圖可知要使直線L與曲線C只有一個交點，
則k∈∪.
故所求k的取值范圍為∪.
[解題技法]
直線與圓的綜合問題的求解策略
(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決．
(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮．
[過關(guān)訓(xùn)練]
　已知A(2,0)，直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦長為4，且P為圓C上任意一點．
(1)求|PA|的最大值與最小值；
(2)圓C與坐標(biāo)軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內(nèi)切圓的半徑．
解：(1)∵直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦長為4，
∴圓心到直線的距離
d＝＝＝1.
∵m＜3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值與最小值分別為＋，－.
(2)由(1)可得圓C的方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圓C與坐標(biāo)軸相交于三點M(0,4)，O(0,0)，N(－6,0)，
∴△MON為直角三角形，斜邊|MN|＝2，
∴△MON內(nèi)切圓的半徑為＝5－.

一、題點全面練
1．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　)
A．相離　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析：選C　直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，
∴點(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)部，
直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．
2．(2018·河南八市質(zhì)檢)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　)
A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：選B　由題意，過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則點(3,1)在圓上，代入可得r2＝5，圓的方程為(x－1)2＋y2＝5，則過點(3,1)的切線方程為(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.
3．(2019·六安模擬)已知過原點的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點坐標(biāo)為D(2，)，則弦長為(　　)
A．2 B.3
C．4 D．5
解析：選A　將圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑為2.∵線段AB的中點坐標(biāo)為D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故選A.
4．已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)．若兩圓相交于A，B兩點，且|AB|＝4，則圓O2的方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
解析：選C　設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因為圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，所以直線AB的方程為4x＋4y＋r2－10＝0.圓心O1到直線AB的距離d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
5．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B.[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：選A　設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2,0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知條件可得|AB|＝2，
所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax＝6，
△ABP面積的最小值為|AB|·dmin＝2.
綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]．
6．若直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程是__________________．
解析：依題意，直線l：y＝kx＋1過定點P(0,1)．圓C：x2＋y2－2x－3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.故圓心為C(1,0)，半徑為r＝2.則易知定點P(0,1)在圓內(nèi)．由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PC⊥l時，直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因為kPC＝＝－1，所以直線l的斜率k＝1，即直線l的方程是x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________．
解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標(biāo)為(a,0)(a＞0)，
則由題意知2＋2＝(a－1)2，
解得a＝3或－1(舍去)，
故圓心坐標(biāo)為(3,0)，
因為圓心(3,0)在所求的直線上，
所以3＋0＋m＝0，
解得m＝－3，
故所求的直線方程為x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
8．已知直線x－y＋a＝0與圓C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圓C的圓心坐標(biāo)為C(－1,2)，半徑為3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角邊長為3的等腰直角三角形，
故可得圓心C到直線x－y＋a＝0的距離為，
由點到直線的距離公式可得＝，
解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
9．已知圓C經(jīng)過點A(2，－1)，與直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上．
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．
解：(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)，
則＝.
化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
∴C(1，－2)，半徑r＝|AC|＝＝.
∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由題意得＝1，解得k＝－，
∴直線l的方程為y＝－x，即3x＋4y＝0.
綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知以點C為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標(biāo)原點．
(1)求證：△OAB的面積為定值；
(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．
解：(1)證明：由題意知圓C過原點O，∴半徑r＝|OC|.
∵|OC|2＝t2＋，
∴設(shè)圓C的方程為(x－t)2＋2＝t2＋.
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，則A(2t,0)．
令x＝0，得y1＝0，y2＝，則B.
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面積為定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直線OC的方程為y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
當(dāng)t＝2時，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，r＝|OC|＝，
此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝＜，
圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點．
當(dāng)t＝－2時，圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，r＝|OC|＝，
此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝＞，
圓C與直線y＝－2x＋4不相交．
∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1．設(shè)圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于(　　)
A．4 B.4
C．8 D．8
解析：選C　因為圓C1，C2和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4,1)，所以兩圓都在第一象限內(nèi)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)，則|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，故|C1C2|＝＝8，故選C.
2．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則實數(shù)t的最小值為(　　)
A．4 B.3
C．2 D．1
解析：選D　由∠APB＝90°得，點P在圓x2＋y2＝t2上，因此由兩圓有交點得|t－1|≤|OC|≤t＋1?|t－1|≤2≤t＋1?1≤t≤3，即t的最小值為1.
3．已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則圓的方程為(　　)
A．x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37
解析：選D　如圖所示，∵A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．
∴過A，C的直線方程為＝，化為一般式為x＋2y－4＝0.點O到直線x＋2y－4＝0的距離d＝＝＞1，
又|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝.
∴以原點為圓心的圓若與△ABC有唯一的公共點，則公共點為(0，－1)或(6，－1)，∴圓的半徑分別為1或，則圓的方程為x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
4．過點A(3,5)作圓C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為_____________．
解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，∵|CA|＝＝＞2，∴點A(3,5)在圓外．顯然，當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x－3＝0，當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圓心為(1,2)，半徑r＝2，而圓心到切線的距離d＝＝2，即|3－2k|＝2，∴k＝，故所求切線方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
答案：5x－12y＋45＝0或x－3＝0
5．已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x＋y－6＝0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC＝60°，則點A的橫坐標(biāo)的取值范圍為________．
解析：由題意知，過點A的兩直線與圓M相切時，夾角最大，當(dāng)∠BAC＝60°時，|MA|＝＝＝4.設(shè)A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此點A的橫坐標(biāo)的取值范圍為[1,5]．
答案：[1,5]
(二)難點專練——適情自主選
6．已知圓H被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，且截x軸所得線段的長為2.
(1)求圓H的方程；
(2)若存在過點P(a,0)的直線與圓H相交于M，N兩點，且|PM|＝|MN|，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)設(shè)圓H的方程為(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r＞0)，
因為圓H被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，所以圓心H(m，n)一定是兩互相垂直的直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交點，易得交點坐標(biāo)為(2,1)，
所以m＝2，n＝1.
又圓H截x軸所得線段的長為2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以圓H的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)設(shè)N(x0，y0)，由題意易知點M是PN的中點，
所以M.
因為M，N兩點均在圓H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①
2＋2＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②
設(shè)圓I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知圓H與圓I有公共點，
從而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以實數(shù)a的取值范圍是[2－，1]∪[3,2＋]．
7．已知圓C經(jīng)過點A，B，直線x＝0平分圓C，直線l與圓C相切，與圓C1：x2＋y2＝1相交于P，Q兩點，且滿足OP⊥OQ.
(1)求圓C的方程；
(2)求直線l的方程．
解：(1)依題意知圓心C在y軸上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(0，b)，圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
因為圓C經(jīng)過A，B兩點，
所以2＋2＝2＋2，
即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.
則r2＝2＋2＝，
所以圓C的方程為x2＋(y－4)2＝.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，由l與C相切得l的方程為x＝±，此時直線l與C1交于P，Q兩點，不妨設(shè)P點在Q點的上方，則P，Q或P，Q，則·＝0，所以O(shè)P⊥OQ，滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時，易知其斜率不為0，
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
將直線l的方程與圓C1的方程聯(lián)立，得消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
則Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)＞0，
即1＋k2＞m2，則x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，
又OP⊥OQ，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝＋＝0，
故2m2＝1＋k2，滿足Δ＞0，符合題意．
因為直線l：y＝kx＋m與圓C：x2＋(y－4)2＝相切，
所以圓心C(0,4)到直線l的距離d＝＝，
即m2－8m＋16＝，故m2－8m＋16＝m2，得m＝2，
故1＋k2＝8，得k＝±.
故直線l的方程為y＝±x＋2.
綜上，直線l的方程為x＝±或y＝±x＋2.


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