1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行：
①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.

(2)兩條直線垂直：
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.

2．兩條直線的交點(diǎn)的求法
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．
3．三種距離公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離：|P1P2|＝.
(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：d＝.
　
(3)平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間距離：d＝ .
　

[熟記常用結(jié)論]
1．過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，還可以表示為y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.
2．平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
6．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
7．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．
8．點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．
9．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)
(2)如果直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)若兩直線方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(　　)
(4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　)
(5)兩平行直線2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0間的距離是0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、選填題
1．兩條直線l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交點(diǎn)為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選B　解方程組得
所以兩直線的交點(diǎn)為.
2．若直線ax＋2y－1＝0與直線2x－3y－1＝0垂直，則a的值為(　　)
A．－3 B.－
C．2 D．3
解析：選D　直線ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直線2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因?yàn)閮芍本€垂直，所以－×＝－1，解得a＝3.
3．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：選B　由題意可知l1與l2平行，故l1與l2之間的距離d＝＝，故選B.
4．已知點(diǎn)(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝________.
解析：由題意得，＝1，
∴|a＋1|＝，∵a＞0，∴a＝－1.
答案：－1
5．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x，－x)和B，那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是________．
解析：由題意可得兩點(diǎn)間的距離d＝＝ ≥，即最小值為.
答案：


[典例精析]
(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　)
A．1或3　　　　　　　　 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)，若△OAB為直角三角形，則必有(　　)
A．b＝a3 B.(b－a3)＝0
C．b＝a3＋ D．|b－a3|＋＝0
(3)已知直線l1：mx＋y＋4＝0和直線l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，則的取值范圍為________．
[解析]　(1)由兩直線平行得，當(dāng)k－3＝0時(shí)，兩直線的方程分別為y＝－1和y＝，顯然兩直線平行．當(dāng)k－3≠0時(shí)，由＝≠，可得k＝5.綜上，k的值是3或5.
(2)若以O(shè)為直角頂點(diǎn)，則B在x軸上，則a必為0，此時(shí)O，B重合，不符合題意；若∠A＝，則b＝a3≠0.若∠B＝，根據(jù)垂直關(guān)系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上兩種情況皆有可能，故只有B滿足條件．
(3)因?yàn)閘1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因?yàn)閙＞0，所以＝＝，則0＜＜，故的取值范圍為.
[答案]　(1)C　(2)B　(3)
[解題技法]
1．已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行或垂直的方法
(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；
(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.
[提醒]　當(dāng)直線斜率不確定時(shí)，要注意斜率不存在的情況．
2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1與l2平行的充要條件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2相交的充要條件
≠(A2B2≠0)
l1與l2重合的充要條件
＝＝(A2B2C2≠0)
　　[提醒]　在判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇題、填空題時(shí)，建議多用比例式來解答．

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件 B.必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C　當(dāng)m＝2時(shí)，易知兩直線平行，即充分性成立．
當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不符合要求，故必要性成立，故選C.
2．已知直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，垂足為(t,1)，則n的值為(　　)
A．7 B.9
C．11 D．－7
解析：選A　由直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，即m＝10.直線4x＋10y－6＝0過點(diǎn)(t,1)，所以4t＋10－6＝0，即t＝－1.點(diǎn)(－1,1)又在直線5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，即n＝7.

[典例精析]
(1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
(2)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．
[解析]　(1)由方程組解得
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為.
又∵交點(diǎn)位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)因?yàn)椋健伲詢芍本€平行，
將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，
由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即＝，所以|PQ|的最小值為.
[答案]　(1)　(2)
[解題技法]
距離問題的常見題型及解題策略
(1)求兩點(diǎn)間的距離關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等．
(2)解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在．
(3)求兩條平行線間的距離要先將直線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解．也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2019·太原模擬)若直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)與原點(diǎn)之間的距離的最小值為(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
解析：選A　由解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴點(diǎn)(m，n)與原點(diǎn)之間的距離d＝＝＝≥，當(dāng)n＝－2，m＝－1時(shí)取等號(hào)．∴點(diǎn)(m，n)與原點(diǎn)之間的距離的最小值為，故選A.
2．(2019·廈門模擬)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則實(shí)數(shù)c的值是________．
解析：依題意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，又兩平行線之間的距離為，所以＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
3．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為______________________．
解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2)．
而AB所在直線的斜率kAB＝＝－1，
∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵點(diǎn)P(a，b)在直線x－y－5＝0上，
∴a－b－5＝0.①
又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②聯(lián)立解得或
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或.
答案：(1，－4)或

[考法全析]
考法(一)　點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
[例1]　過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為____________________．
[解析]　設(shè)直線l1與直線l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，
則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，
所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.
[答案]　x＋4y－4＝0

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的求解方法
若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解．　　　　
考法(二)　點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱
[例2]　在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長(zhǎng)度為(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D.
[解析]　以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0，設(shè)P(t,0)(0＜t＜4)，由對(duì)稱知識(shí)可得點(diǎn)P關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4,4－t)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－t,0)，根據(jù)反射定律可知P1P2所在直線就是光線RQ所在直線．由P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得P1P2所在直線的方程為y＝·(x＋t)，設(shè)△ABC的重心為G，易知G.因?yàn)橹匦腉在光線RQ上，所以有＝，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因?yàn)?＜t＜4，所以t＝，即|AP|＝，故選D.
[答案]　D

點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的解題方法
若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．　　　　
考法(三)　線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
[例3]　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線m的方程為________________．
[解析]　在直線l上取兩點(diǎn)B(1,1)，C(10,7)，B，C兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直線m的方程為＝，即2x－3y－9＝0.
[答案]　2x－3y－9＝0

1．線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的求解方法
(1)在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
(2)求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．
2．線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)質(zhì)
“線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”其實(shí)質(zhì)就是“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”，只要在直線上取兩個(gè)點(diǎn)，求出其對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱為“中心對(duì)稱”．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　)
A．(－2,4) B.(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：選C　設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立解得則C(2,4)．
2．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．
解析：設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，
所以
解得即M′(1,0)．
又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，
所以所求直線的方程為＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
3．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是________________．
解析：由|PA|＝|PB|知點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，且PA的方程為x－y＋1＝0，得P(3，4)．直線PA，PB關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，直線PA上的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)(6,1)在直線PB上，所以直線PB的方程為＝，即x＋y－7＝0.
答案：x＋y－7＝0

一、題點(diǎn)全面練
1．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2過定點(diǎn)(　　)
A．(0,4)　　　　　　　　 B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：選B　由題知直線l1過定點(diǎn)(4,0)，則由條件可知，直線l2所過定點(diǎn)關(guān)于(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(4,0)，故可知直線l2所過定點(diǎn)為(0,2)，故選B.
2．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,2) B.(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：選C　設(shè)P(x,5－3x)，則d＝＝，化簡(jiǎn)得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
3．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，－1)，且直線l與l1平行，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A．0 B.1
C．6 D．0或6
解析：選C　由直線l的傾斜角為得l的斜率為－1，
因?yàn)橹本€l與l1平行，所以l1的斜率為－1.
又直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率為，故＝－1，解得a＝6.
4．(2018·北京東城區(qū)期末)如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)A(a－1，a＋1)，B(a，a)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么直線l的方程為(　　)
A．x－y＋1＝0 B.x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：選A　因?yàn)橹本€AB的斜率為＝－1，所以直線l的斜率為1.設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，由題意知直線l過點(diǎn)，所以＝＋b，解得b＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故選A.
5．已知點(diǎn)P(－2,0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，則點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為(　　)
A．2 B.
C. D．2
解析：選B　由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是過直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交點(diǎn)的直線系方程．解方程組可知兩直線的交點(diǎn)為Q(1,1)，故直線l恒過定點(diǎn)Q(1,1)，如圖所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值為.
6．已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為，則a＝________；若l1⊥l2，則a＝________；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為________．
解析：若直線l1的傾斜角為，則－a＝k＝tan＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，則a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，則a＝－1，l1：x－y＋1＝0，兩平行直線間的距離d＝＝2.
答案：－1　1　2
7．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________.
解析：由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是解得
故m＋n＝.
答案：
8．以點(diǎn)A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD的面積為________．
解析：因?yàn)閗AB＝＝－，kDC＝＝－.
kAD＝＝，kBC＝＝.
則kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四邊形ABCD為矩形．
故S四邊形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25.
答案：25
9．正方形的中心為點(diǎn)C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程．
解：點(diǎn)C到直線x＋3y－5＝0的距離d＝＝.
設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是
x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
則點(diǎn)C到直線x＋3y＋m＝0的距離
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是
x＋3y＋7＝0.
設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是
3x－y＋n＝0，
則點(diǎn)C到直線3x－y＋n＝0的距離
d＝＝，解得n＝－3或n＝9，
所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
10．已知點(diǎn)P(2，－1)．
(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；
(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，并求出最大距離；
(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過點(diǎn)P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.
若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此時(shí)直線l的方程為3x－4y－10＝0.
綜上可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
因?yàn)閗OP＝－，
所以kl＝－＝2.
由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為＝.
(3)由(2)可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過的直線，因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線．
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1．(2019·青島模擬)直線x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0無公共點(diǎn)，則a的值為(　　)
A．3或－1 B.0或3
C．0或－1 D．－1或0或3
解析：選C　兩直線無公共點(diǎn)，即兩直線平行．當(dāng)a＝0時(shí)，這兩條直線分別為x＋6＝0和x＝0，無公共點(diǎn)；當(dāng)a≠0時(shí)，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，這兩條直線分別為x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，兩直線重合，有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，舍去；若a＝－1，這兩條直線分別為x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，兩直線平行，無公共點(diǎn)．綜上，a＝0或a＝－1.
2．已知A(1,2)，B(3,1)兩點(diǎn)到直線l的距離分別是，－，則滿足條件的直線l共有(　　)
A．1條 B.2條
C．3條 D．4條
解析：選C　當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于直線l的同一側(cè)時(shí)，一定存在這樣的直線l，且有兩條．又|AB|＝＝，而點(diǎn)A到直線l與點(diǎn)B到直線l的距離之和為＋－＝，所以當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于直線l的兩側(cè)時(shí)，存在一條滿足條件的直線．綜上可知滿足條件的直線共有3條．故選C.
3．l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是____________________．
解析：當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的斜率為k＝－，此時(shí)，直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
4．若直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為______________________．
解析：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由題意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,2)，直線l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同時(shí)為零)，若點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是________．
解析：易知直線l經(jīng)過定點(diǎn)(1，－2)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離為＝5，最小距離為0，所以d的取值范圍是[0,5]．
答案：[0,5]
(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移
6．[與導(dǎo)數(shù)交匯]若點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為(　　)
A. B.1
C. D．2
解析：選C　因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P處的切線和直線y＝x－2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最?。?yàn)橹本€y＝x－2的斜率等于1，曲線y＝x2－ln x的導(dǎo)數(shù)y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲線y＝x2－ln x上與直線y＝x－2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，所以點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為，故選C.
7.[與不等式交匯]如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且AC與l1交于點(diǎn)C，則△ABC的面積的最小值為________．
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面積S＝·
＝· ＝
≥＝6(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝4時(shí)取等號(hào))．
答案：6
8．[與物理知識(shí)交匯]如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn))，則直線FD的斜率的取值范圍為________．
解析：從特殊位置考慮．如圖所示，∵點(diǎn)A(－2,0)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為A1(2,4)，∴＝4.又點(diǎn)E(－1,0)關(guān)于直線AC：y＝x＋2的對(duì)稱點(diǎn)為E1(－2，1)，點(diǎn)E1(－2,1)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為E2(1,4)，此時(shí)直線E2F的斜率不存在，∴kFD＞，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)



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