2019考綱考題考情



1．公式法與分組求和法
(1)公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和。
①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝＝na1＋d。
②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝
(2)分組求和法
若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減。
2．倒序相加法與并項(xiàng)求和法
(1)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的。
(2)并項(xiàng)求和法
在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解。
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。
3．裂項(xiàng)相消法
(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。
(2)常見的裂項(xiàng)技巧
①＝－。
②＝。
③＝。
④＝－。
⑤＝。
4．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的。


　
1．使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)。
2．在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解。

一、走進(jìn)教材
1．(必修5P47B組T4改編)數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n為(　　)
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析　an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017。故選D。
答案　D
2．(必修5P61T4(3)改編)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)。
解析　設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1?、伲瑒txSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn?、冢伲诘茫?1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－。
答案?。?br /> 二、走近高考
3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________。
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由解得a1＝1，d＝1，所以an＝n，Sn＝，所以＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋＝2×＝2×＝。
答案　
4．(2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)。若a1>1，則(　　)


A．a(chǎn)1a4
解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y＝x－1，所以lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－11，所以q＝2。
(2)設(shè)cn＝(bn＋1－bn)an，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn。
由cn＝解得cn＝4n－1。
由(1)可知an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，
故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3。
設(shè)Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，
Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，
所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1＝7－(4n＋3)·n－1，
因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，
又b1＝1適合上式，
所以bn＝15－(4n＋3)·n－2。



用錯(cuò)位相減法求和時(shí)容易出現(xiàn)以下兩點(diǎn)錯(cuò)誤：(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)。(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n－1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和。
【變式訓(xùn)練】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1。
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn。
解　(1)由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，滿足上式，
所以an＝6n＋5。
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d。
由即
可解得所以bn＝3n＋1。
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
兩式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2。
考點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和
【例3】　已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解　(1)因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8。
所以??q3＝＝8?q＝2?an＝a1·qn－1＝2n－1。
(2)由(1)可知Sn＝＝＝2n－1，
所以bn＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－。



1．用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：＝(－)，＝，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)。
2．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)。
【變式訓(xùn)練】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－2，且滿足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn

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