第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
2019考綱考題考情



1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
(1)數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。
(2)數(shù)列的分類(lèi)

(3)數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法。
2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝

　
1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在正整數(shù)集或其子集{1,2,3，…，n}上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則若an最小，則
3．遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的三種方法：
(1)疊加法：對(duì)于an＋1－an＝f(n)型，若f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an。
(2)疊乘法：對(duì)于＝f(n)型，若f(1)·f(2)·…·f(n)的積是可求的，可用多式相乘法求得an。
(3)構(gòu)造法：對(duì)an＋1＝pan＋q型，構(gòu)造一個(gè)公比為p(p≠1)的等比數(shù)列，求得an。

一、走進(jìn)教材
1．(必修5P33A組T4改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　)
A． B．
C. D.
解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝。
答案　D
2．(必修5P33A組T5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________。

答案　5n－4
二、走近高考
3．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。若Sn＝2an＋1，則S6＝________。
解析　根據(jù)Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，兩式相減得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以S6＝＝－63。

解析：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；當(dāng)n＝5時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；當(dāng)n＝6時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32。所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63。

答案　－63
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集N*或其子集{1,2，…，n}；②求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)忽視項(xiàng)為零的情況；③根據(jù)Sn求an時(shí)忽視對(duì)n＝1的驗(yàn)證。
4．在數(shù)列－1,0，，，…，中，0.08是它的第________項(xiàng)。
解析　依題意得＝，解得n＝10或n＝(舍)。
答案　10
5．在數(shù)列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n＝________。
解析　由題可知n∈N*，令an＝－n2＋6n＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N*)，所以該數(shù)列的第7項(xiàng)為零，且從第8項(xiàng)開(kāi)始anan；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an0，解得x>；令f′(x)0，且na－(2n－1)an＋1an－2a＝0。設(shè)M(x)表示整數(shù)x的個(gè)位數(shù)字，則M(a2 019)＝________。
解析　由已知得(nan＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，因?yàn)閍n>0，所以an＋1－2an＝0，則＝2，因?yàn)閍1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝1×2n－1＝2n－1(n∈N*)。所以a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，…，所以n≥2時(shí)，M(an)依次構(gòu)成以4為周期的數(shù)列。所以M(a2 019)＝M(a3)＝4，故答案為4。
答案　4
3．(配合例5使用)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an－，所以λ≥0。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由an－，即λ≥0。綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[0，＋∞)。
答案　[0，＋∞)

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