2020版《微點教程》高考人教A版理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔：選修4-4第一節(jié)　坐　標(biāo)　系學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

選修4－4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
第一節(jié)　坐　標(biāo)　系
2019考綱考題考情

1．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2．極坐標(biāo)的概念
(1)極坐標(biāo)系：
如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，從O點引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個單位長度和角及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系。

(2)極坐標(biāo)：
對于平面內(nèi)任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)。
當(dāng)點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值。
(3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系：
平面內(nèi)一點的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對，當(dāng)k∈Z時，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個點，而用平面直角坐標(biāo)表示點時，每一個點的坐標(biāo)是唯一的。
如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就一一對應(yīng)了。
3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，如圖所示。

(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：
點M
直角坐標(biāo)(x，y)
極坐標(biāo)(ρ，θ)
互化
公式

ρ2＝x2＋y2
tanθ＝(x≠0)
在一般情況下，由tanθ確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小正角。
4．常見曲線的極坐標(biāo)方程
曲線
圖形
極坐標(biāo)方程
圓心在極點，
半徑為r的圓

ρ＝r(0≤θ＜2π)
圓心為(r,0)，
半徑為r的圓

ρ＝2rcosθ
圓心為，
半徑為r的圓

ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)
過極點，傾斜角
為α的直線

①θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)
②θ＝α(ρ≥0)和
θ＝π＋α(ρ≥0)
過點(a,0)，與
極軸垂直的直線

ρcosθ＝a
過點，與
極軸平行的直線

ρsinθ＝a(0＜θ＜π)
過點(a,0)，
傾斜角為α
的直線

ρsin(α－θ)＝asinα

1．明辨兩個坐標(biāo)
伸縮變換關(guān)系式點(x，y)在原曲線上，點(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(x，y)的坐標(biāo)滿足原來的曲線方程，點(x′，y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程。
2．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化
(1)公式代入：直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡。
(2)整體代換：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，變形構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換。

一、走進(jìn)教材
1．(選修4－4P15T4改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是(　　)
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)
解析　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為。故選B。

解析：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圓心的極坐標(biāo)為。故選B。

答案　B
2．(選修4－4P15T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
解析　因為y＝1－x(0≤x≤1)，所以ρsinθ＝
1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，所以ρ＝。故選A。
答案　A

二、走出誤區(qū)
微提醒：①極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤；②求極坐標(biāo)方程不會結(jié)合圖形求解致誤。
3．將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(　　)
A．(0,2) B．(0，－2) C．(2,0) D．(－2,0)
解析　由可知直角坐標(biāo)為(0，－2)。故選B。
答案　B
4．在極坐標(biāo)系中，過點且與極軸平行的直線方程是(　　)
A．ρ＝0 B．θ＝
C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2
解析　極坐標(biāo)為的點的直角坐標(biāo)為(0,2)，過該點且與極軸平行的直線的方程為y＝2，其極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2。故選D。
答案　D
5．在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過極點的圓的方程為________。
解析　如圖，O為極點，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－，OB＝2＝，化簡得ρ＝－2cosθ。

答案　ρ＝－2cosθ

　考點一　伸縮變換　　　　　　　　　　　　　
　【例1】　(1)曲線C：x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，則曲線C′的方程為________。
(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為________。
解析　(1)因為所以代入曲線C的方程得C′：＋y′2＝1。
(2)根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲線C的方程為4x2＋9y2＝1。
答案　(1)＋y′2＝1　(2)4x2＋9y2＝1

1．平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)為所求。
2．解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解。
【變式訓(xùn)練】　(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：則點A經(jīng)過變換后所得的點A′的坐標(biāo)為________。
(2)雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過伸縮變換φ：后所得曲線C′的焦點坐標(biāo)為________。
解析　(1)設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得到由于點A的坐標(biāo)為，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，所以A′的坐標(biāo)為(1，－1)。
(2)設(shè)曲線C′上任意一點P′(x′，y′)，將代入x2－＝1，得－＝1，化簡得－＝1，即為曲線C′的方程，知C′仍是雙曲線，其焦點坐標(biāo)分別為(－5,0)，(5,0)。
答案　(1)(1，－1)　(2)(－5,0)，(5,0)
考點二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
【例2】　(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2。以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0。
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程。
解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4。
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓。由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點。
當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0。
經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點。
當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝。
經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝時，l2與C2沒有公共點。
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2。

1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化依據(jù)是x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。
2．互化時要注意前后的等價性。
【變式訓(xùn)練】　(1)(2018·海南二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin。求曲線C的直角坐標(biāo)方程。
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求C2的極坐標(biāo)方程。
解　(1)把ρ＝4sin展開得ρ＝2sinθ＋2cosθ，
兩邊同乘ρ得ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ?、佟?br /> 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y＝0。
(2)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x′－1)2＋y′2＝1，
將x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ代入整理得ρ＝2cosθ，
所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ。
考點三求曲線的極坐標(biāo)方程
【例3】　在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點，點P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|＝4，記點P的軌跡為C2。
(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)求曲線C2上的點到直線ρcos＝距離的最大值。
解　(1)設(shè)P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，
由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。
因為M是C1上任意一點，所以ρ2sinθ＝2，
即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ。
所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ。
(2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1，
則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1，
由直線ρcos＝，
得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2，
圓心(0,1)到直線x－y＝2的距離為
d＝＝，
所以曲線C2上的點到直線ρcos＝距離的最大值為1＋。

求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程。
【變式訓(xùn)練】　(2019·廣州五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓。
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)求圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長。
解　(1)設(shè)所求圓上任意一點，M(ρ，θ)，如圖，

在Rt△OAM中，∠OMA＝，
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4。
因為cos∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
驗證可知，極點O與A的極坐標(biāo)也滿足方程，故ρ＝4cos為所求。
(2)設(shè)l：θ＝－(ρ∈R)交圓C于點P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2。

解：(1)圓C是將圓ρ＝4cosθ繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，
所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos。
(2)將θ＝－代入圓C的極坐標(biāo)方程
ρ＝4cos，得ρ＝2，
所以圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長為2。

考點四極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
【例4】　(2018·山東淄博二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是x＝4。曲線C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。
(1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；
(2)若射線θ＝α與曲線C交于點O，A，與直線l交于點B，求的取值范圍。
解　(1)由ρcosθ＝x，得直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4。
曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，消去參數(shù)φ得曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ＋2sinθ。
(2)設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，
則ρ1＝2cosα＋2sinα，ρ2＝，
所以＝＝＝
＝(sin2α＋cos2α)＋＝sin＋，
因為0