?專題14.3 因式分解
目標導(dǎo)航

1、了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系；
2、能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法將多項式分解因式；
3、能運用平方差公式、完全平方公式把簡單的多項式進行因式分解；
4、會綜合運用提公因式法和公式法（平方差、完全平方）把多項式分解因式；
5、熟練掌握首項系數(shù)為1的形如x2 + (p+ q)x + pq型的二次三項式的因式分解；
6、熟練掌握好簡單的分組分解法。
知識精講

知識點01 因式分解
知識點
1. 因式分解的概念
定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
2. 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隱含公因式;有時，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完。
②運用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：對于二次三項式的因式分解中，當(dāng)公式法不能匹配時，十字相乘就是我們的首選方法。
④分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分組分解分為三步：1）將原式的項適當(dāng)分組；2）對每一組進行處理（因式分解）；3）將經(jīng)過處理后的每一組當(dāng)作一項，再進行分解。
注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸。有時，分組不當(dāng)會導(dǎo)致因式分解無法繼續(xù)進行，此刻切不可氣餒，可再嘗試新的分組方法，也許“驚喜”就在后面。
3. 因式分解的一般步驟
①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式
③分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
【知識拓展1】因式分解的概念及意義
例1．（2022·深圳市龍崗區(qū)八年級期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（??）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項作出判斷即可．
【解析】解：A. ,是乘法運算，不是因式分解，不合題意；
B. ，變形錯誤，不是因式分解，不合題意；
C. ，是因式分解符合題意；
D. ，沒有化為整式的積的形式，不是因式分解，不合題意．故選：C．
【點睛】本題考查了因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫因式分解．
【即學(xué)即練】
1．（2022·山東·初二期中）已知多項式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（　?。?br /> A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出等式，再利用多項式相等的條件求出a與b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根據(jù)題意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故選：A．
【點睛】本題考查因式分解與整式乘法的關(guān)系，掌握因式分解與整式乘法是互逆的變形過程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·沙坪壩·重慶南開中學(xué)）在中，若有一個因式為，則k的值為（　　?。?br /> A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)因式分解的意義可設(shè)，再利用整式乘法計算后得，即可根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系求解．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，， ，解得，，．故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的意義，掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【知識拓展2】提公因式法
例2．（2022·陜西榆林·八年級期末）用提公因式法分解因式時，應(yīng)提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)公因式的定義：一個多項式中每一項都含有的相同的因式，這個因式就叫做這個多項式的公因式，進行求解即可．
【詳解】觀察可知，這個多項式的每一項都含有，∴提取的公因式為，故選D．
【點睛】本題主要考查了公因式，解題 的關(guān)鍵在于能夠熟記公因式的定義．
【即學(xué)即練】
3．（2022·江蘇常州·期中）把多項式-16x3+40x2y提出一個公因式-8x2后，另一個因式是______ ．
【答案】2x-5y ；
【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2?2x+（﹣8x2）?（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y），
所以另一個因式為2x﹣5y．故答案為2x﹣5y
點睛：本題考查提公因式法分解因式，把多項式的各項寫成公因式與另一個因式相乘的形式是解題的關(guān)鍵．
4.（2022·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【分析】通過提取公因式（x+2）進行因式分解即可．
【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案為（x+2）（x﹣1）．
【點睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

【知識拓展3】公式法
例3．（2022·江蘇沭陽·期中）把下列各式因式分解：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和公式法，屬于基礎(chǔ)知識．
【即學(xué)即練3】
5．（2022·浙江上虞·）下列多項式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)公式法的特點即可分別求解．
【詳解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故選C．
【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知乘方公式的特點．
6．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點：必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)的積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解析】A. 只有兩項，不符合完全平方公式；
B. 其中 、-1不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中與 不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定義，故選：D.
【點睛】此題考查完全平方公式，正確掌握完全平方式的特點是解題的關(guān)鍵.

【知識拓展4】十字相乘法
例4．（2022·四川·八年級期中）由整式的乘法運算法則可得由于我們道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．
通過觀察可如可把中的著作是未知數(shù)．、、、在作常數(shù)的二次三項式：通過觀察可知此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)．此分解過程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖，此分解過程可形象地表述為“堅乘得首、尾，叉乘湊中項，這種分解的方法稱為十字相乘法．如：將二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖，則．

根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)結(jié)合本題知識，因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用十字相乘法進行求解即可；
（2）利用十字相乘法進行求解即可；
（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：



．
【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．
【即學(xué)即練4】
7．（2022·江西撫州·八年級期中）分解因式：___________．
【答案】##2x（x+1）（2x-1）
【分析】先提公因式法再用十字相乘法因式分解即可．
【詳解】解：；
【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握提公因式和十字相乘法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學(xué)校八年級期中）閱讀與思考：
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式因式分解．
例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
請仿照上面的方法，解答下列問題：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)

【分析】（1）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項?18＝?9×2，一次項系數(shù)7＝?2＋9，然后進行分解即可；
（2）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項，然后進行計算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項，一次項系數(shù)，然后進行分解計算即可．
（1）
解：＋7x?18
＝＋（?2＋9）x＋（?2）×9
＝（x?2）（x＋9）
故答案為：（x?2）（x＋9）．
（2）
解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是：±2，±7．
故答案為：±2，±7．
（3）
解：?6x+8＝0，
（x?2）（x-4）＝0，
（x?2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【點睛】本題考查因式分解?十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解題的關(guān)鍵．

【知識拓展5】分組分解法
例5．（2022·綿陽市八年級課時練習(xí)）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多項式①；②；③；④中，能用分成三項一組和一項一組的方法分解因式的是（只寫式子序號）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先將式子中的項進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行分解即可；
（2）先將式子中的項進行分組，再提取公因式和平方差公式進行因式分解即可；
（3）對每個式子進行因式分解，判定即可．
【詳解】解：（1）
故答案為：、3、、、
（2）
故答案為：、、、、、、
（3）①，不能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，不符合題意；
②，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
③，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
④，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
故答案為：②，③，④
【點睛】此題考查了因式分解的方法，涉及了分組分解法、公式法、提取公因式法，熟練掌握因式分解的有關(guān)方法是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練5】
9．（2022·湖南岳陽·七年級期中）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：
拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；
(3)若三邊、、滿足，試判斷的形狀．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形，理由見解析
【分析】（1）將一、二、四項結(jié)合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；
（2）把-6x拆成-7x+x，再用分組分解法進行解答；
（2）先把等式左邊分解成因式的積，根據(jù)積為0的因式的特點得出a、b、c之間的關(guān)系便可．
（1）

=a2-4a+4-b2
=（a-2）2-b2
=（a+b-2）（a-b-2）；
（2）

=x2-7x+x-7
=x（x-7）+（x-7）
=（x-7）（x+1）
（3）
∵a2-ab-ac+bc=0，
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a-b=0或a-c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，掌握每一種因式分解的方法在不同題型中的熟練應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
10．（2022·廣東揭陽·八年級期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．
例1：“兩兩分組”：
解：原式


例2：“三一分組”：
解：原式


歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．請同學(xué)們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三邊a，b，c滿足，試判斷的形狀．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形

【分析】（1）①將原式進行分組，然后再利用提取公因式法進行因式分解；
②將原式進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解；
（2）將原式進行分組，然后利用平方差公式和提公因式法進行因式分解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系和多項式乘法的計算法則分析判斷．
(1)
（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
(2)
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三邊，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC是等腰三角形．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解題關(guān)鍵．

【知識拓展6】因式分解的應(yīng)用
例6.（2022·沙坪壩·課時練習(xí)）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，那么規(guī)定正整數(shù)為“四季數(shù)”，例如：64是4的倍數(shù)，所以64是“四季數(shù)”．（1）已知正整數(shù)是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，求證：是“四季數(shù)”；
（2）已知一個兩位正整數(shù)（，其中，為自然數(shù)），將其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，得到新數(shù)，若與的差是“四季數(shù)”，請求出所有符合條件的兩位正整數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)），根據(jù)P是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差得出p的值，利用因式分解變形即可得出答案；（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n為整數(shù)），用含n的式子表示出y-x，再根據(jù)x，y的范圍及“四季數(shù)”的定義可得答案．
【解析】解：（1）證明：設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)）
則p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且為整數(shù)，∴2n+1必為正整數(shù)，∴4(2n+1)一定是4的倍數(shù)，∴P是“四季數(shù)”；
（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n為整數(shù))，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y為自然數(shù)，∴1≤y-x≤8，
當(dāng)n=9時，y-x=4，∴，，，，；
當(dāng)n=18時，y-x=8，∴．∴所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19．
【點睛】本題考查了因式分解在新定義習(xí)題中的證明及其計算，讀懂定義，是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練5】
11．（2022·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_____．

【答案】3
【分析】根據(jù)正方形的面積結(jié)合因式分解進行拼圖即可解決問題．
【解析】解：如圖所示：

共有3種不同的正方形．故答案為3．
【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出甲、乙、丙的面積，然后結(jié)合正方形的面積進行拼圖即可．
12.（2022?乳山市期中）【閱讀材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
【問題解決】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．
【分析】（1）將x﹣y看做整體，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）將a+b看做整體，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先計算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再將n2+3n看做整體因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，繼而由n2+3n+1為正整數(shù)可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1為正整數(shù)．
∴代數(shù)（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．
【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用整體思想和十字相乘法與完全平方公式因式分解的能力．

能力拓展

考法01 利用因式分解求值
【典例1】（2022·廣東·平洲一中八年級階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值為（????）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
【答案】D
【分析】先根據(jù)題意可得，再由可得，把代入即可求得其值．
【詳解】解：，，
故選：D．
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值問題，利用完全平方公式因式分解，熟練掌握和運用代數(shù)式求值問題的方法是解決本題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·甘肅·臨澤二中八年級期末）已知a?b=3，ab=2，則的值為____________．
【答案】6
【分析】將提取公因式ab，再將，代入進行計算求解．
【詳解】解：∵，，
∴ ．故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，理解提取公因式法是解答關(guān)鍵．
變式2．（2022?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由題意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz變形為（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入計算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、完全平方公式的運用；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

考法02 利用因式分解判斷三角形的形狀
【典例2】（2022·湖南天元·初一開學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了。
過程為：；
這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等邊三角形
【分析】（1）首先將前三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形狀是等腰三角形或等邊三角形．
【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵．
變式1．（2022·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項式只用上述方法就無法分解,如,我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn),前兩項符合平方差公式,后兩項可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了,過程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．
【答案】（1）；（2）△ABC的形狀是等腰三角形；
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進行分解，再根據(jù)平方差公式分解即可；
（2）先從中提取公因式，從中提取公因式，再提取它們的公因式，最后根據(jù)，判斷出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形狀是等腰三角形.
【點睛】本題主要考查因式分解及應(yīng)用，熟練運用分組分解法是關(guān)鍵.
變式2．（2022·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形狀是等邊三角形．
【分析】（1）認真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項式的結(jié)構(gòu)特點，合理分組運用完全平方公式后再整體運用平方差公式進行分解．（2）等式左邊的多項式拆開分組，構(gòu)造成兩個完全平方式的和等于0的形式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根據(jù)兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形狀是等邊三角形．
【點睛】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，綜合運用因式分解的幾種方法是重難點．








分層提分

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．（2022·隆昌市知行中學(xué)月考）下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的意義和多項式的乘法法則可以求解 ．
【解析】解：由因式分解的意義可以判斷A、B都是錯誤的；∵,所以C選項錯誤；
∵，∴D正確故選D．
【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的意義和多項式的乘法法則是解題關(guān)鍵．
2．（2022·四川武侯·）把多項式a3b4﹣abnc因式分解時，提取的公因式是ab4，則n的值可能為（　?。?br /> A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】因公因式為多項式中各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，得n≥4，故A正確．
【詳解】解：∵多項式的公因式是各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合題意，B、C、D不合題意．故選：A．
【點睛】本題主要考查提公因式法中公因式的找法，熟練掌握多項式公因式的找法是解題關(guān)鍵．
3．（2022·浙江杭州·七年級期中）下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，兩個平方項，并且符號相反，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特點，不能用平方差公式進行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特點，能用平方差公式進行因式分解；
C、2x2+2的兩平方項符號相同，不能用平方差公式進行因式分解；
D、x3-y3是兩個立方項，不能用平方差公式進行因式分解．故選：B．
【點睛】本題考查平方差公式進行因式分解，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是求解的關(guān)鍵．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4.（2022·全國七年級專題練習(xí)）下列各式不能運用公式法進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)公式法因式分解，逐項分析即可．
【詳解】A. ，能因式分解，不符合題意；
B. ，能因式分解，不符合題意；
C. 不能因式分解，符題意；
D. ，能因式分解，不符合題意．故選C
【點睛】本題考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級期末）若，，則___．
【答案】6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【詳解】解：∵
∴，
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查平方差公式在因式分解里的運用，熟練運用平方差公式是解題關(guān)鍵．
6．（2022·貴陽初二期末）已知，，則代數(shù)式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根據(jù)，，求出a-c=-1，再將多項式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案為：-3.
【點睛】此題考查多項式的化簡求值，掌握多項式的因式分解的方法：分組分解法和提公因式法是解題的關(guān)鍵.
8．（2021·常德市淮陽中學(xué)初一期中）若多項式可以因式分解成，那么a=_____．
【答案】1
【分析】把展開后合并，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等即可得出關(guān)于的方程，求出即可．
【解析】解：，
即，，解得：．故答案為：1．
【點睛】本題考查了因式分解，理解題意，掌握待定系數(shù)法分解因式的方法與步驟是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2021·湖南荷塘·七年級期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根據(jù)提公因式因式分解求解即可．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，正確找出公因式是解本題的關(guān)鍵．
7．（2022·重慶北碚·八年級開學(xué)考試）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【詳解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【點睛】此題考查了十字相乘法，提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解時要分解到每一個因式再也不能分解為止．
8．（2022·山西呂梁·八年級期末）閱讀以下材料，并解決問題：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．．這樣我們就需要結(jié)合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項結(jié)合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結(jié)合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：
例1：
……………………分成兩組
………………分別分解
………………………提取公因式完成分解
像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分組的目的是_________________．
(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？
__________________；
__________________．
(3)利用分組分解法進行因式分解：．
【答案】(1)分組后能出現(xiàn)公因式，分組后能應(yīng)用公式
(2)、
(3)

【分析】（1）閱讀材料可知分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，即可求解；
（2）根據(jù)分組分解的方法，依據(jù)下一步利用公式進行分組；
（3）根據(jù)分組分解法因式分解即可求解．
（1）
分組后能出現(xiàn)公因式，分組后能應(yīng)用公式
（2）
，
，
故答案為：，．
（3）

．
【點睛】本題考查了因式分解，掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·重慶·八年級階段練習(xí)）因式分解：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

【分析】（1）先提公因式，再運用十字相乘法進行因式分解．
（2）運用公式法進行因式分解．
（3）先化簡，再運用十字相乘法進行因式分解．
（4）先化簡，再運用提公因式法進行因式分解．
（5）先分組，再提公因式進行因式分解．
（1）
解：（1）
＝
＝．
（2）

＝
＝
＝．
（3）

＝
＝
＝
＝
（4）

＝
＝
＝
＝
＝．
（5）

＝
＝
＝
＝．
【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2022·江西撫州·八年級期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．
例1：“兩兩分組”：
解：原式


例2：“三一分組”：
解：原式


歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．請同學(xué)們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三邊滿足，試判斷的形狀．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①將原式進行分組，然后再利用提取公因式法進行因式分解；②將原式進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解；（2）將原式進行分組，然后利用平方差公式和提公因式法進行因式分解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系和多項式乘法的計算法則分析判斷．
【詳解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三邊，，，
，，即是等腰三角形．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解題關(guān)鍵．

題組B 能力提升練
1．（2022·安徽合肥·七年級期末）若多項式可分解為，且，，均為整數(shù)，則的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
把用多項式乘法計算出來對比原式，結(jié)合題中條件，分析的值．
【詳解】又
，，均為整數(shù)故選C．
【點睛】本題考查多項式的乘法，因式分解的概念，熟練多項式的乘法根據(jù)條件求出的值是解題的關(guān)鍵．
1．（2022·山東沂源·初二期中）設(shè)a，b，c是的三條邊，且，則這個三角形是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把所給的等式能進行因式分解的要因式分解，整理為整理成多項式的乘積等于0的形式，求出三角形三邊的關(guān)系，進而判斷三角形的形狀.
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故選：D.
【點睛】本題考查了分組分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多項式的乘積等于0的形式是解題的關(guān)鍵.
2．（2022·樹德中學(xué)期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先對原式運用平方差公式進行因式分解，然后再整體代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【點睛】本題主要考查了應(yīng)用平方差公式進行因式分解和整體代入法，能夠正確的進行因式分解是解題的關(guān)鍵.
3．（2022·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由題意分析a，b是相互獨立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項，a決定因式含x的一次項系數(shù)；利用多項式相乘的法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x2＋ax＋b，甲看錯了b，但a是正確的，
他分解結(jié)果為(x＋2)(x＋4)＝x2＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看錯了a，?分解結(jié)果為
(x＋1)(x＋9)＝x?2?＋10x＋9，∴b＝9，故答案為：－3.
【點睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運算．是中考中的常見題型．此題主要考查了因式分解的意義，根據(jù)已知分別得出a，b的值是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇金壇·七年級期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分組，然后根據(jù)公式法因式分解．
【詳解】．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分組分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·綿陽市·八年級專題練習(xí)）閱讀下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解




．
這樣，我們得到．
利用上式可以將某些二鎰項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項，一次項系數(shù)，這是一個型式子．
解：
請仿照上面的方法將下列多項式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）仿照題意進行分解因式即可；
（2）仿照題意進行分解因式即可．
（1）
解：

；
（2）
解：


．
【點睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·湖南岳陽·七年級期末）閱讀理解題
由多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可進行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多項式的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和．
（1）嘗試：分解因式：（______）（______）；
（2）應(yīng)用：請用上述方法將多項式：、進行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根據(jù)“常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”進行因式分解即可．
【詳解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案為：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是理解“常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和”．
7．（2022·重慶·八年級專題練習(xí)）觀察猜想：
如圖，大長方形是由四個小長方形拼成的，請根據(jù)此圖填空：

說理驗證：
事實上，我們也可以用如下方法進行變形：

于是，我們可以利用上面的方法進行多項式的因式分解．
嘗試運用：
例題把分解因式．
解：．
請利用上述方法將下列多項式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】x+p；x+q；x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；（1）（x-3）（x-4）；（2）（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
【分析】由矩形的面積公式可以求得x2+px+qx+pq=（x+p）（x+q）；
利用分組的方法可以先分組然后提公因式法可以分解因式為：x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）；
（1）根據(jù)x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）的形式的分解即可；
（1）把y2+y看作一個整體，同理分解即可．
【詳解】解：由矩形的面積公式得：（x+p）（x+q）；
故答案為：x+p；x+q；
根據(jù)分組分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
故答案為：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；
（1）
=（x-3）（x-4）；
（2）
=（y2+y+9）（y2+y-2）
=（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
故答案為：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
【點睛】本題是一道因式分解的試題，考查了十字相乘法在實際問題中的運用，分組分解法的運用．在分解因式時，要分解到不能再分解為止．
8．（2022·廣東河源·八年級期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．
【答案】(1)
(2)45
(3)的形狀是等腰三角形

【分析】（1）首先將前三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）將整理成即可求解；
（3）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出，，的關(guān)系，判斷三角形形狀即可．
(1)
解：

；
(2)
解：


∵，，
代入得：原式

．
(3)
解：
，
，
或，
的形狀是等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了分組分解法以及等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握分組分解法．
9．（2022·河北滄州·七年級期末）閱讀下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法就無法分解，如．我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解．
過程如下：


．
這種因式分解的方法叫分組分解法．
利用這種分組的思想方法解決下列問題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析

【分析】(1)前三項符號符合完全平方式，再和最后一項應(yīng)用平方差公式；
(2)前兩項、后兩項分別因式分解；
(3)將2b2分成兩個b2，再進行分組分解，確定a，b，c的關(guān)系，即可得△ABC的形狀．
(1)
解：

；
(2)
解：

；
(3)
解：△ABC是等邊三角形，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等邊三角形．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用及等邊三角形的判定，利用分組分解法時，關(guān)鍵要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續(xù)分解，還是分組后利用各組本身的特點進行解題．
10．（2022·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．
利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由見解析．
【分析】(1)前三項符合完全平方公式，再和最后一項應(yīng)用平方差公式分解因式即可．
(2)前兩項、后兩項均可提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，據(jù)此把a2-ab-ac+bc分解因式，進而判斷出△ABC的形狀即可．
【解析】解：(1)原式，故答案為．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC為等腰三角形．故答案為等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．
11．（2022·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
為什么要對2n2進行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，且滿足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周長．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周長為16或17.
【分析】（1）先利用分組法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分組法分解因式，求得ab的值，再根據(jù)等腰三角形確定邊長，最后求出周長即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2?＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三邊長，∴當(dāng)a=c=5時，△ABC的周長為5+5+6=16，
當(dāng)b=c=6時，△ABC的周長為5+6+6=17，故△ABC的周長為16或17．
【點睛】本題考查了分組法分解因式以及等腰三角形的周長，注意拆項是分組法分解因式的關(guān)鍵．
12．（2022·河南鄭州初二期中）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式進行因式分解的過程.
解：設(shè)
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的__________（填代號）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項式分解因式的最后結(jié)果為______________．
（3）請你模仿以上方法對多項式進行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）從解題步驟可以看出該同學(xué)第二步到第三步運用了兩數(shù)和的完全平方公式；（2）對第四步的結(jié)果括號里的部分用完全平方公式分解，再用冪的乘方計算即可．（3）模仿例題設(shè)，對其進行換元后去括號，整理成多項式，再進行分解，分解后將A換回，再分解徹底即可．
【解析】（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C
（2）原式==故答案為：
（3）設(shè)．


【點睛】本題考查的是因式分解，解題關(guān)鍵是要能理解例題的分解方法并能進行模仿，要注意分解要徹底．

題組C 培優(yōu)拔尖練
1．（2022·山東東平縣月考）對于任何整數(shù)m，多項式都能被（ ）整除．
A．8 B．m C． D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判斷．
【解析】因為=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【點睛】此題考查因式分解-運用公式法，掌握運算法則是解題關(guān)鍵
2．（2022·沭陽縣修遠中學(xué)初一期末）已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（　?。?br /> A． B．或 C．1 D．1或11
【答案】D
【分析】此題先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再結(jié)合a、b、c是正整數(shù)和a＞b探究它們的可能值，從而求解．
【解析】解：根據(jù)已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整數(shù)，∴a－c＝1或a－c＝11，故選D．
【點睛】此題考查了因式分解；能夠借助因式分解分析字母的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：
分解因式：．
因為，設(shè)．
比較系數(shù)得，．解得．所以．
解答下面問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再設(shè)，比較系數(shù)得到，解方程組即可求解．
【詳解】解：
設(shè)
比較系數(shù)得，，解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查分組分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
4．（2022·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．
【答案】3
【分析】根據(jù)a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案為：3．
【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．
5．（2022·山東薛城·八年級期末）整式乘法與多項式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．
例如，是單項式乘多項式的法則；把這個法則反過來，得到，這是運用提取公因式法把多項式因式分解．
又如、是多項式的乘法公式；把這些公式反過來，得到、，這是運用公式法把多項式因式分解．
有時在進行因式分解時，以上方法不能直接運用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進行的因式分解．
甲：
（分成兩組）
（分別提公因式）

乙：
（分成兩組）
（運用公式）

請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解
問題一：因式分解：
（1）；
（2）．
問題二：探究
對、定義一種新運算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當(dāng)時，對任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關(guān)系．
【答案】問題一：因式分解：（1）（2）；問題二：探究，的數(shù)量關(guān)系．
【分析】問題一：因式分解：（1）按系數(shù)成比分組提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理為即可；（2）按完全平方公式分組然然后利用公式變形為再利用平方差公式因式分解即可；
問題二：探究:先求，再求，由，可得，合并同類項，由，對任意有理數(shù)、都成立，可得即可．
【詳解】解：問題一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
問題二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，對任意有理數(shù)、都成立，∴，∴，的數(shù)量關(guān)系．
【點睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實數(shù)運算，利用因式分解與多項式乘法之間關(guān)系，掌握分
組因式分解的方法，利用因式分解與多項式乘法之間關(guān)系，構(gòu)造恒等式找出m與n關(guān)系是解題關(guān)鍵．
6．（2022·貴州銅仁·七年級期中）
(1)【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．
請同學(xué)們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解與應(yīng)用】
請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：
①??__________；
②??__________．
(3)【探究與拓展】
對于形如的關(guān)于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：
①??分解因式__________；
②??若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．

【答案】(1)
(2)???? ????
(3)
②43或

【分析】（1）首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即，寫出結(jié)果即可．
（2）①把二次項系數(shù)2寫成，常數(shù)項寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．
②把項系數(shù)6寫成，把項系數(shù)2寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．
（3）①把項系數(shù)3寫成，把項系數(shù)-2寫成，常數(shù)項-4寫成滿足條件，寫出分解結(jié)果即可．
②把項系數(shù)1寫成，把項系數(shù)-18寫成，常數(shù)項-24寫成或滿足條件，寫出分解結(jié)果，計算即可．
（1）
首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即，所以．
故答案為：．
（2）
①把二次項系數(shù)2寫成，，滿足，所以．
故答案為：．
②把項系數(shù)6寫成，把項系數(shù)2寫成，滿足，
所以．
故答案為：．
（3）
①把項系數(shù)3寫成，把項系數(shù)-2寫成，常數(shù)項-4寫成滿足條件，
所以．
故答案為：．
②把項系數(shù)1寫成，把項系數(shù)-18寫成，常數(shù)項-24寫成或滿足條件，

所以m=或m=，
故m的值為43或-78．
【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·陜西金臺·八年級期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令xy＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2
上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；
①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【詳解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②設(shè)B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【點睛】本題考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
8．（2022·湖南雨花外國語學(xué)校）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．
（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．
（2）請你試一試在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【點睛】本題主要考查學(xué)生因式分解的知識及學(xué)以致用的能力，掌握因式分解結(jié)合題意并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·重慶月考）仔細閱讀下列解題過程：
若，求的值．
解：

根據(jù)以上解題過程，試探究下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（2）首先把第2項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（3）先把代入，得到關(guān)于和 的式子，再仿照（1）（2）題．
【詳解】解：（1）

（2）

（3）


【點睛】本題考查的分組分解法、配方法和非負數(shù)的性質(zhì)，對于項數(shù)較多的多項式因式分解，分組分解法是一個常用的方法. 首先要觀察各項特征，尋找熟悉的式子，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是基礎(chǔ).
10．（2022·南陽月考）閱讀材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足=0，
關(guān)于此三角形的形狀的以下命題：①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正確命題的序號為________________．
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求△ABC的周長．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化簡后，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值即可；
（2）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出，進行判斷即可.（3）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，進而確定出三角形周長．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案為2；0；
(2)∵

①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．都正確.
故答案為①②③④
(3)∵ ∴ ∴
則a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三邊關(guān)系可知，三角形三邊分別為1、3、3，
則△ABC的周長為1+3+3=7．
【點睛】考查因式分解的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和為0，則它們都為0.


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