1.理解切線長(zhǎng)的概念，掌握切線長(zhǎng)定理．2.學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長(zhǎng)定理解有關(guān)問題．3．通過對(duì)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析總結(jié)問題的習(xí)慣，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．
1、如何過⊙O外一點(diǎn)P畫出⊙O的切線？
2、這樣的切線能畫出幾條？
如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線.
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度數(shù).
思考：已畫出切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則∠OAP= 90°,連接OP，可知A、B 除了在⊙O上，還在怎樣的圓上?
如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？
尺規(guī)作圖：過⊙O外一點(diǎn)作⊙O的切線
在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).
切線與切線長(zhǎng)是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？
切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念： 1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量； 2、切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.
思考：已知⊙O切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，把圓沿著直線OP對(duì)折,你能發(fā)現(xiàn)什么?
請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
證明：∵PA，PB與⊙O相切，點(diǎn)A，B是切點(diǎn) ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
∵PA、PB分別切⊙O于A、B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.
反思：切線長(zhǎng)定理為證明線段相等、角相等提供新的方法
若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.
證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)， ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線. ∴OP垂直平分AB.
若延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.
證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB ，∴AC=BC.
（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)
（1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)
反思：在解決有關(guān)圓的切線長(zhǎng)問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形.
探究：PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C.
（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）寫出圖中與∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）寫出圖中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（3）寫出圖中所有的全等三角形
【例1】△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng).
設(shè)AF=x(cm),則AE=x(cm)
∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cm BD=BF=AB-AF=(9-x)cm
由 BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
1.（口答）如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周長(zhǎng)．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度數(shù).
答案：14cm 67°
【例2】如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和⊙O分別相切于點(diǎn)L、M、N、P，求證： AD+BC=AB+CD
證明：由切線長(zhǎng)定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等．
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長(zhǎng).
【解析】設(shè)OA= xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2，
即 42+x2=(x+2)2
所以，半徑OA的長(zhǎng)為3cm.
2.設(shè)△ABC的邊BC=8，AC=11，AB=15，內(nèi)切圓I和BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F.求AE、CD、BF的長(zhǎng).
【解析】設(shè) AE=x，BF=y，CD=z
答： AE 、CD 、BF的長(zhǎng)分別是9、2、6.
1．（珠海·中考）如圖，PA、PB是⊙ O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ ）
A.60° B.90°C.120° D.150°
2.（杭州·中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為（ ）A．2 B．3 C． D． 【解析】選D.如圖所示，連接OA、OB，則三角形AOB是直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因?yàn)閮?nèi)切圓半徑為1，利用勾股定理求得AB= 那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為 .
3.已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為⊙O上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點(diǎn)，已知PA=12cm，求△PEF的周長(zhǎng).
【解析】易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm

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24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系

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