數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5.2 三角函數(shù)的概念學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

5.2 三角函數(shù)的概念

5.2.1 三角函數(shù)的概念

江南水鄉(xiāng)，水車在清澈的河流里悠悠轉(zhuǎn)動(dòng)，緩緩地把河流里的水倒進(jìn)水渠，流向綠油油的田地，流向美麗的大自然．

問題：(1)把水車放在坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為水車上一點(diǎn)，它轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α，水車的半徑為r，你能寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？

(2)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在終邊的位置是否有關(guān)？

(3)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)與角的終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？

提示：(1)設(shè)P(x，y)，根據(jù)三角函數(shù)的定義知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，則P(rcs α，rsin α)．

(2)三角函數(shù)值是比值，與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)．

(3)由三角函數(shù)的定義知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由角α終邊上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的正負(fù)確定．

1．單位圓

在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．

2．任意角的三角函數(shù)的定義

(1)條件

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：

(2)結(jié)論

①y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)；

②x叫做α的余弦函數(shù)，記作cs α，即cs α＝x；

③eq \f(y,x)叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．

(3)總結(jié)

eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)．我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．

3．正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域

4.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)

(1)圖示：

(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

5．公式一

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)sin α表示sin與α的乘積．( )

(2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x，y)，r＝|OP|≠0，則sin α＝eq \f(y,r)，且y越大，sin α的值越大．( )

(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．( )

(4)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.( )

[提示] (1)錯(cuò)誤．sin α表示角α的正弦值，是一個(gè)“整體”．

(2)錯(cuò)誤．由任意角的正弦函數(shù)的定義知，sin α＝eq \f(y,r).但y變化時(shí)，sin α是定值．

(3)正確．

(4)錯(cuò)誤．終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在．

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．sin(－315°)的值是( )

A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2)

C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)

C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).]

3．已知sin α＞0，cs α＜0，則角α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

B [由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)知，角α是第二象限角．]

4．已知角θ的終邊過點(diǎn)P(－12,5)，則sin θ＝，cs θ＝，tan θ＝ .

eq \f(5,13)，－eq \f(12,13)，－eq \f(5,12) [∵θ的終邊過點(diǎn)P(－12,5)，∴r＝eq \r(?－12?2＋52)＝13.

∴sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(5,13)，cs θ＝eq \f(x,r)＝－eq \f(12,13)，tan θ＝eq \f(y,x)＝－eq \f(5,12).]

[探究問題]

1．一般地，設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r，則sin α，cs α，tan α為何值？

提示：sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．

2．sin α，cs α，tan α的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？

提示：sin α，cs α，tan α的值只與α的終邊位置有關(guān)，不隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變．

【例1】 (1)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，則sin θ＋tan θ的值為．

(2)已知角α的終邊落在直線eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，

cs α，tan α的值．

[思路點(diǎn)撥] (1)eq \x(依據(jù)余弦函數(shù)定義列方程求x)→

eq \x(依據(jù)正弦、正切函數(shù)定義求sin θ＋tan θ)

(2)

(1)eq \f(3\r(10)＋30,10)或eq \f(3\r(10)－30,10) [因?yàn)閞＝eq \r(x2＋9)，cs θ＝eq \f(x,r)，所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).

又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).

又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．

當(dāng)θ為第一象限角時(shí)，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝3，則sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)＋30,10).

當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝－3，

則sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)－30,10).]

(2)[解] 直線eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq \r(3))，則r＝eq \r(?－1?2＋?\r(3)?2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；

在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－eq \r(3))，

則r＝eq \r(12＋?－\r(3)?2)＝2，

所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).

1．將本例(2)的條件“eq \r(3)x＋y＝0”改為“y＝2x”其他條件不變，結(jié)果又如何？

[解] 當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(1，2)，由r＝|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，得sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(2,1)＝2.

當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)Q(－1，－2)，

由r＝|OQ|＝eq \r(?－1?2＋?－2?2)＝eq \r(5)，得：

sin α＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，

tan α＝eq \f(－2,－1)＝2.

2．將本例(2)的條件“落在直線eq \r(3)x＋y＝0上”改為“過點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cs α.

[解] 因?yàn)閞＝eq \r(?－3a?2＋?4a?2)＝5|a|，

①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，

sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，

所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.

②若a0)．則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．

(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類討論．

【例2】 (1)已知點(diǎn)P(tan α，cs α)在第四象限，則角α終邊在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

①sin 156°；②cseq \f(16,5)π；③cs(－450°)；④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,8)π))；

⑤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))；⑥tan 556°.

[思路點(diǎn)撥] (1)先判斷tan α，cs α的符號(hào)，再判斷角α終邊在第幾象限．

(2)先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號(hào)．

(1)C [因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α

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