5.1 任意角和弧度制


5.1.1 任意角








現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超過0°～360°范圍的角．例如，體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這樣的動(dòng)作名稱，這里不僅有超出0°～360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同．


問題：要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，你知道在數(shù)學(xué)中是如何表示此種現(xiàn)象的嗎？


提示：借助正角、負(fù)角的概念．





1．角的概念


角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．


2．角的表示


如圖，(1)始邊：射線的起始位置OA，





(2)終邊：射線的終止位置OB，


(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.


這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．


3．任意角的分類


(1)按旋轉(zhuǎn)方向分





(2)按角的終邊位置分


①前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．


②分類：





4．終邊相同的角


所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，


即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．


思考：終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？


提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．





1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)


(1)第二象限角大于第一象限角．( )


(2)第二象限角是鈍角．( )


(3)終邊相同的角一定相等．( )


(4)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．( )


[提示] (1)錯(cuò)誤．如第二象限角100°小于第一象限角361°.


(2)錯(cuò)誤．如第二象限角－181°不是鈍角．


(3)錯(cuò)誤．終邊相同的角可表示為α＝β＋k·360°，k∈Z，即α與β不一定相等．


(4)正確．


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


2．下列說法正確的是( )


A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角


B．第四象限的角一定是負(fù)角


C．60°角與600°角是終邊相同的角


D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為60°


D [A錯(cuò)誤，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；


B錯(cuò)誤，280°角是第四象限角，但它不是負(fù)角；


C錯(cuò)誤，600°－60°＝540°不是360°的倍數(shù)；


D正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為－360°，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過的角為360°×eq \f(1,6)＝60°.]


3．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是________．


－670° [由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]


4．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．


240° 三 [因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．]





【例1】 (1)給出下列說法：


①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．


其中正確說法的序號(hào)為________(把正確說法的序號(hào)都寫上)．


(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．


①420°.②855°.③－510°.


(1)① [①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；


②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；


③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；


④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．]


(2)[解] 作出各角的終邊，如圖所示：





由圖可知：


①420°是第一象限角．


②855°是第二象限角．


③－510°是第三象限角．





1．理解角的概念的關(guān)鍵與技巧：


(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．


(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．


2．象限角的判定方法：


(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限．


(2)第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.1 任意角和弧度制

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