4.4 對數(shù)函數(shù)


第1課時 對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)








中科院古脊椎動物與古人類研究所的專家向外界確認，河南汝陽村李錘發(fā)現(xiàn)的“龍骨”實際上是一頭距今已有1億至8 000萬年歷史的黃河巨龍的肋骨．經(jīng)過發(fā)掘、整理、還原模型，專家推斷這條黃河巨龍活著的時候，體重應(yīng)該在60噸左右，是迄今為止亞洲最高大、最肥胖的“亞洲龍王”．





同學(xué)們，你們知道專家是怎樣依據(jù)化石估算出黃河巨龍的生活年代的嗎？那就讓我們學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)模型——對數(shù)函數(shù)來解決這個問題吧！


問題：(1)考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡物體的殘留物，利用 (P為碳14含量)估算出土文物或古遺址的年代t，那么t是P的函數(shù)嗎？為什么？


(2)函數(shù)的解析式與函數(shù)y＝lg2x的解析式有什么共同特征？


提示：(1)t是P的函數(shù)，因為對于P每取一個確定的值按照對應(yīng)關(guān)系f：，都有唯一的值與之相對應(yīng)，故t是P的函數(shù)．


(2)兩個函數(shù)都是對數(shù)的真數(shù)作為函數(shù)的自變量．





1．對數(shù)函數(shù)的概念


函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．


思考1：函數(shù)y＝2lg3x，y＝lg3(2x)是對數(shù)函數(shù)嗎？


提示：不是，其不符合對數(shù)函數(shù)的形式．


2．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)


思考2：對數(shù)函數(shù)的“上升”或“下降”與誰有關(guān)？


提示：底數(shù)a與1的關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)的升降．


當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)00且a≠1)互為反函數(shù)．





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)


(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為R.( )


(2)函數(shù)y＝lga(x＋2)恒過定點(－1,0)．( )


(3)對數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè)．( )


(4)函數(shù)y＝lg2x與y＝x2互為反函數(shù)．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．函數(shù)y＝lgax的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值為( )





A．5 B．eq \f(1,5)


C.eq \f(1,e) D．eq \f(1,2)


A [由圖可知，a>1，故選A.]


3．若對數(shù)函數(shù)過點(4,2)，則其解析式為________．


f(x)＝lg2x [設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝lgax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得lga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝lg2x.]


4．函數(shù)f(x)＝lg2(x＋1)的定義域為________．


(－1，＋∞) [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定義域為(－1，＋∞)．]








【例1】 (1)下列給出的函數(shù)：①y＝lg5x＋1；


②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；


④y＝eq \f(1,3)lg3x；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；





A．③④⑤ B．②④⑥


C．①③⑤⑥ D．③⑥


(2)若函數(shù)y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.


(3)已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(16,4)，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝_____________.


(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由對數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對數(shù)函數(shù)，故選D.


(2)因為函數(shù)y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))


解得a＝4.


(3)設(shè)對數(shù)函數(shù)為f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，


由f(16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，


∴f(x)＝lg2x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.]





判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法








eq \([跟進訓(xùn)練])


1．若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)lgax是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.


2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.


又a>0且a≠1，所以a＝2.]





【例2】 求下列函數(shù)的定義域．


(1)y＝lg3x2；


(2)y＝lga(4－x)(a>0，且a≠1)；


(3)y＝eq \f(1,lg x)；


(4)y＝lg7eq \f(1,1－3x).


[解] (1)∵x2>0，即x≠0.


∴函數(shù)y＝lg3x2的定義域為{x|x≠0}．


(2)∵4－x>0，即x0，即x－1，解得00，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,xa2>a1>0.


2．函數(shù)y＝ax與y＝lgax(a>0且a≠1)的圖象有何特點？


提示：兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．


【例3】 (1)當(dāng)a>1時，在同一坐標系中，函數(shù)y＝a－x與y＝lgax的圖象為( )





A B C D


(2)已知f(x)＝lga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象．


[思路點撥] (1)結(jié)合a>1時y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)及y＝lgax的圖象求解．


(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函數(shù)的奇偶性作圖．


(1)C [∵a>1，∴00，且a≠1)


C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)


D．y＝ln x


D [結(jié)合對數(shù)函數(shù)的形式y(tǒng)＝lgax(a>0且a≠1)可知D正確．]


2．函數(shù)f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定義域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))


C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))


C [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,5－3x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x

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4.4 對數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

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