3.1 函數的概念及其表示


3.1.1 函數的概念








事物都是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化．


早晨，太陽從東方冉冉升起；





氣溫隨時間在悄悄地改變；


小樹隨著時間的變化不斷長高；


……


在這些變化著的現象中，都存在著兩個變量，當一個變量變化時，另一個變量隨之發(fā)生變化．


問題：(1)怎樣用數學模型刻畫兩個變量之間的關系？


(2)這樣的模型具有怎樣的特征？


提示：(1)用時間t來刻畫氣溫的變化．


(2)氣溫隨著時間t的變化而變化．





1．函數的概念


思考1：(1)有人認為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？


(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？


提示：(1)這種看法不對．


符號y＝f(x)是“y是x的函數”的數學表示，應理解為x是自變量，它是關系所施加的對象；f是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數，當x允許取某一具體值時，相應的y值為與該自變量值對應的函數值．y＝f(x)僅僅是函數符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(x)，G(x)等來表示函數．


(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當x＝a時，函數f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數f(x)＝3x＋4，當x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數．


2．區(qū)間及有關概念


(1)一般區(qū)間的表示


設a，b是兩個實數，且a1}用區(qū)間表示為________．


(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [結合區(qū)間的定義可知(1)為[10,100]，(2)為(1，＋∞)．]








【例1】 (1)下列對應關系是集合P上的函數的是________．


①P＝Z，Q＝N*，對應關系f：對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應；


②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，對應關系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；


③P＝{三角形}，Q＝{x|x＞0}，對應關系f：對P中的三角形求面積與集合Q中的元素對應．


(2)下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數的圖象是( )





A B C D


(1)② (2)C [(1)②顯然正確，由于①中的集合P中的元素0在集合Q中沒有對應元素，并且③中的集合P不是數集，從而①③不正確．


(2)由函數的定義可知，選項C正確．]





(1)判斷所給對應關系是否為函數的方法


①先觀察兩個數集A，B是否非空；


②驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．


(2)根據圖形判斷對應關系是否為函數的步驟


①任取一條垂直于x軸的直線l；


②在定義域內平行移動直線l；


③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數．





eq \([跟進訓練])


1．下列三個說法：


①若函數的值域只含有一個元素，則定義域也只含有一個元素；


②若f(x)＝5(x∈R)，則f(π)＝5一定成立；


③函數就是兩個集合之間的對應關系．


其中正確說法的個數為( )


A．0 B．1


C．2 D．3


B [①錯誤．若函數的值域只含有一個元素，則定義域不一定只含有一個元素；


②正確．因為f(x)＝5，這個數值不隨x的變化而變化，所以f(π)＝5；


③錯誤．函數就是兩個非空數集之間的對應關系．]


2．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，則下列對應關系中，不能看作是從A到B的函數關系的是( )


A．f：x→y＝eq \f(1,8)x B．f：x→y＝eq \f(1,4)x


C．f：x→y＝eq \f(1,2)x D．f：x→y＝x


D [對于A中的任意一個元素，在對應關系f：x→y＝eq \f(1,8)x；f：x→y＝eq \f(1,4)x；f：x→y＝eq \f(1,2)x下，在B中都有唯一的元素與之對應，故能構成函數關系．對于A中的元素8，在對應關系f：x→y＝x下，在B中沒有元素與之對應，故不能構成函數關系．]





【例2】 已知函數f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2)，


(1)求f(－3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；


(2)當a＞0時，求f(a)，f(a－1)的值．


[解] (1)將－3與eq \f(2,3)代入解析式，有


f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1；


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).


(2)因為a＞0，所以f(a)，f(a－1)有意義．


f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；


f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).





函數求值的方法


?1?已知f?x?的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f?a?的值.


?2?求f?g?a??的值應遵循由里往外的原則.





eq \([跟進訓練])


2．設f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，


(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．


(2)求g(f(x))．


[解] (1)因為f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.


因為g(x)＝eq \f(1,x＋2)，


所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)．


g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12).


(2)g(f(x))＝eq \f(1,f?x?＋2)＝eq \f(1,2x2＋2＋2)＝eq \f(1,2x2＋4).





[探究問題]


1．已知函數的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？


提示：不可以．如f(x)＝eq \f(x＋1,x2－1).倘若先化簡，則f(x)＝eq \f(1,x－1)，從而定義域與原函數不等價．


2．若函數y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數y＝f(x)的定義域是什么？


提示：[1,2]是自變量x的取值范圍．


函數y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]．


【例3】 求下列函數的定義域：


(1)f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)；


(2)f(x)＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))；


(3)f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)；


(4)f(x)＝eq \f(?x＋1?2,x＋1)－eq \r(1－x).


[思路點撥] 要求函數的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數大于等于0即可．


[解] (1)當且僅當x－2≠0，即x≠2時，


函數f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)有意義，


所以這個函數的定義域為{x|x≠2}．


(2)函數有意義，當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))


解得x>－1且x≠1，


所以這個函數的定義域為{x|x>－1且x≠1}．


(3)函數有意義，當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，


所以這個函數的定義域為{x|1≤x≤3}．


(4)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，


即函數定義域為{x|x≤1且x≠－1}．





(變結論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數y＝f(x＋1)的定義域．


[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.


所以函數y＝f(x＋1)的定義域為[0,2]．





求函數定義域的常用方法


?1?若f?x?是分式，則應考慮使分母不為零.?2?若f?x?是偶次根式，則被開方數大于或等于零.


?3?若f?x?是指數冪，則函數的定義域是使冪運算有意義的實數集合.


?4?若f?x?是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定義域的交集.


?5?若f?x?是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義.





【例4】 下列各組函數是同一函數的是( )


①f(x)＝eq \r(－2x3)與g(x)＝xeq \r(－2x)；


②f(x)＝x與g(x)＝eq \r(x2)；


③f(x)＝x0與g(x)＝eq \f(1,x0)；


④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.


A．①② B．①③


C．③④ D．①④


C [①f(x)＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)與g(x)＝xeq \r(－2x)的對應法則和值域不同，故不是同一函數．


②g(x)＝eq \r(x2)＝|x|與f(x)＝x的對應法則和值域不


同，故不是同一函數．


③f(x)＝x0與g(x)＝eq \f(1,x0)都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數．


④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應法則也相同，而與用什么字母表示無關，故是同一函數．


由上可知是同一函數的是③④.


故選C.]





判斷函數相等的方法


?1?先看定義域，若定義域不同，則不相等；


?2?若定義域相同，再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同.





eq \([跟進訓練])


4．下列各組函數中是相等函數的是( )


A．y＝x＋1與y＝eq \f(x2－1,x－1)


B．y＝x2＋1與s＝t2＋1


C．y＝2x與y＝2x(x≥0)


D．y＝(x＋1)2與y＝x2


B [A，C選項中兩函數的定義域不同，D選項中兩函數的對應關系不同，故A，C，D錯誤，選B.]








1．明確5個概念


(1)函數的定義；(2)函數的定義域；(3)函數的值域；(4)同一函數；(5)區(qū)間


2．規(guī)避4個易錯點


(1)符號“y＝f(x)”為y是x的函數，它僅僅是函數符號，不是表示“y等于f與x的乘積”．


(2)對于用關系式表示的函數．如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數定義域的依據．


(3)判定兩個函數是否相同時，就看定義域和對應法則是否完全一致，完全一致的兩個函數才算相同．


(4)化簡函數的對應關系的變化時要注意定義域的變化．





1．下列四個圖象中，不是函數圖象的是( )





A B C D


B [根據函數的定義知：y是x的函數，x確定一個值，y就隨之確定一個值，體現在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點，對照選項，可知只有B不符合此條件．故選B.]


2．下列函數中，與函數y＝x相等的是( )


A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2)


C．y＝|x| D．y＝eq \r(3,x3)


D [函數y＝x的定義域為R；y＝(eq \r(x))2的定義域為[0，＋∞)；y＝eq \r(x2)＝|x|，對應關系不同；y＝|x|對應關系不同；y＝eq \r(3,x3)＝x，且定義域為R.故選D.]


3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，給出下列四個對應關系：


①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能構成從M到N的函數的是( )


A．① B．②


C．③ D．④


D [只有y＝|x|是符合題意的對應關系．]


4．將函數y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．


(－∞，0)∪(0,1] [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))


解得x≤1且x≠0，用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．]


5．已知函數f(x)＝x＋eq \f(1,x)，


(1)求f(x)的定義域；


(2)求f(－1)，f(2)的值；


(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值．


[解] (1)要使函數f(x)有意義，必須使x≠0，


∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


(3)當a≠－1時，a＋1≠0，


∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).


學 習 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1.進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型．能用集合與對應的語言刻畫出函數，體會對應關系在刻畫數學概念中的作用．(重點、難點)


2．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．(重點)


3．能夠正確使用區(qū)間表示數集．(易混點)
1.通過學習函數的概念，培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng)．


2．借助函數定義域的求解，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng)．


3．借助f(x)與f(a)的關系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
定義
一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素
對應關系
y＝f(x)，x∈A
定義域
自變量x的取值范圍
值域
與x的值相對應的y的函數值的集合{f(x)|x∈A}
定義
名稱
符號
數軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區(qū)間
[a，b]
{x|a

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3.1 函數的概念及其表示

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