23.3.1 相似三角形


課前知識(shí)管理


1、相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似符號(hào)用“～”表示，讀作“相似于”，在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，


∠C=∠C′（對(duì)應(yīng)角相等），且（對(duì)應(yīng)邊成比例），那么△ABC和


△A′B′C′相似，記作△ABC～△A′B′C′，讀作△ABC相似于△A′B′C′，其中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對(duì)應(yīng)位置上.


2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，也叫做相似系數(shù)，相似比具有順序性：△ABC和


△A′B′C′的相似比是，那么△A′B′C′和△ABC的相似比是.當(dāng)相似比是1時(shí)，兩個(gè)三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時(shí)的特例.


3、相似三角形的判定方法：（1）根據(jù)相似三角形的定義；（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.


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典例精析：


知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的概念


例1、已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，與其相似的△A′B′C′的最小邊長(zhǎng)為15，則


△A′B′C′的周長(zhǎng)是多少？


【解題思路】要求較大的三角形的周長(zhǎng)，必須知道其三邊長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出大三角形的另兩邊長(zhǎng).


【解】設(shè)△A′B′C′的另外兩邊長(zhǎng)分別為，則，經(jīng)計(jì)算，得，所以周長(zhǎng)為15+20+25=60，因此△A′B′C′的周長(zhǎng)為60.


【方法歸納】此題運(yùn)用了相似三角形的定義，求出了大三角形的另兩邊長(zhǎng).


對(duì)應(yīng)練習(xí)：從下面這些三角形中，選出相似的三角形．





解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似








知識(shí)點(diǎn)2：會(huì)用相似三角形的概念進(jìn)行推理


例2、根據(jù)下列已知條件，寫出各組相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式.


（1）如圖，△ADE～△ABC，其中DE∥BC；


（2）如圖，△OAB～△OA′B′，其中AB∥A′B′；


（3）如圖，△ADE～△ABC，其中∠ADE=∠B.





【解題思路】本題是結(jié)合圖形，寫出相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例式，區(qū)別（1）和（3），（1）中的AD與AB，AE與AC，DE與BC是對(duì)應(yīng)邊；（3）中AE與AC，AD與AB，DE與BC是對(duì)應(yīng)邊，不能和（1）相混淆，把AE與AB對(duì)應(yīng)起來(lái).


【解】（1）；（2）；（3）.


【方法歸納】寫相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例式關(guān)鍵是抓住“對(duì)應(yīng)”二字.


對(duì)應(yīng)練習(xí)：已知的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，與其相似的的最大邊長(zhǎng)為26，求的面積S．


解：設(shè)的三邊依次為，，則，


∴．又∵∽，


∴．，


又，∴．∴．


知識(shí)點(diǎn)3：會(huì)用平行線判定三角形相似


例3、填空題：如圖，□ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AB于F，則圖中共有________對(duì)相似三角形.





【解題思路】因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以圖中相似三角形有ΔEBF∽ΔECD,ΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共3對(duì).


【解】3對(duì).


【方法歸納】找準(zhǔn)平行線是推斷出相似三角形的前提.


對(duì)應(yīng)練習(xí)：在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，然后回來(lái)交流各自的測(cè)量方法．小芳的測(cè)量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時(shí)目測(cè)旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測(cè)得C、D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高．





你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．


解：這種測(cè)量方法可行．理由如下：設(shè)旗桿高．過(guò)F作于G，交CE于H（如圖）．∴∽． ∵，


∴．


由∽，得，即，∴，解得（米），所以旗桿的高為21.5米．





知識(shí)點(diǎn)8證明多邊形相似


例9、如下圖，梯形與梯形中，，，．





請(qǐng)說(shuō)明：梯形∽梯形．


【解題思路】要說(shuō)明梯形∽梯形．已知四個(gè)角已對(duì)應(yīng)相等，只需說(shuō)明四條邊對(duì)應(yīng)成比例即可．


【解】由，，可連結(jié)，則．于是．而在和中，由于，，所以．即，所以．故梯形∽梯形．


【方法歸納】研究多邊形的問(wèn)題，常常把多邊形分成若干個(gè)三角形，從而把求解多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解三角形的問(wèn)題．


對(duì)應(yīng)練習(xí)：具備下列各組條件的兩個(gè)三角形中，一定相似的是（ ）


A. 兩個(gè)任意三角形B. 兩個(gè)等腰三角形


C. 兩個(gè)等邊三角形D. 兩個(gè)直角三角形


答案：C








課堂練習(xí)評(píng)測(cè)








已知△ABC∽A`B`C`,且BC：B`C`＝AC：A`C`,若AC＝3，A`C`＝1.8。則△A`B`C`與△ABC的相似比為_(kāi)______


△ABC的邊長(zhǎng)分別為，△A`B`C`的兩邊長(zhǎng)分別為1和，如果△ABC∽△A`B`C`，那么△A`B`C`的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)______


已知△ABC∽△A`B`C`，如果∠A＝55，∠B＝100，那么∠C`等于_______


若兩個(gè)相似三角形的相似比為1，則這兩個(gè)三角形必_______


一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)度之比為2：5：6，；另一個(gè)與它相似的三角形最長(zhǎng)邊為24cm，則此三角形最短邊為_(kāi)_______.





答案：


1．3:5 2． 3．25度 4．全等 5．8cm

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

1. 相似三角形

版本： 華師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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