2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第12章　第4講　證明不等式的基本方法-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第4講　證明不等式的基本方法

[考綱解讀]　了解不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法，并能應(yīng)用它們證明一些簡單的不等式．(重點、難點)
[考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考命題的一個熱點．預(yù)測2021年將會考查：①與基本不等式結(jié)合證明不等式；②與恒成立、探索性問題結(jié)合，題型為解答題，屬中檔題型．

對應(yīng)學(xué)生用書P216
1.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．
2.比較法
作差法
依據(jù)
若a，b∈R，則a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b0，則>1?a>b；
＝1?a＝b；x－y.(　　)
(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)
(4)若實數(shù)x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.小題熱身
(1)四個不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則(　　)
A.>
B.
.
(2)已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，則x，y，z的大小關(guān)系是(　　)
A.x>y>z B．xz D．y0，
∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z.
(3)設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為________．
答案　ab≠1或a≠－2
解析　因為x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)
＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)
＝(ab－1)2＋(a＋2)2≥0，
若x>y，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為ab≠1或a≠－2.
(4)已知x>0，則y＝x2＋的最小值為________．
答案　3
解析　因為x>0，所以y＝x2＋＝x2＋＋≥
3＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝即x＝1時等號成立，所以y＝x2＋的最小值為3.

對應(yīng)學(xué)生用書P216
題型一　比較法證明不等式　

1.已知a，b都是正實數(shù)，且a＋b＝2，求證：＋≥1.
證明　∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴＋－1
＝
＝
＝
＝＝
＝.
∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∴≥0.
2.(2019·吉林長春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若a，b均為正數(shù)，求證：aabb≥abba.
解　(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，有m≥6.
(2)證明：由a，b均為正數(shù)，則要證aabb≥abba，
只要證aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.
當(dāng)a≥b時，a－b≥0，可得a－b≥1；
當(dāng)ab時，>1，>0，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知>1，
當(dāng)a