一、知識(shí)梳理
1．幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
對(duì)數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
冪函數(shù)模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)
2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的單調(diào)性
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增長(zhǎng)速度
越來越快
越來越慢
相對(duì)平穩(wěn)
圖象的變化
隨x值增大，圖象與y軸接近平行
隨x值增大，圖象與x軸接近平行
隨n值變化而不同
常用結(jié)論
1．“對(duì)勾”函數(shù)
形如f(x)＝x＋(a>0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：
(1)該函數(shù)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增加的，在[－，0)和(0， ]上是減少的．
(2)當(dāng)x>0時(shí)，x＝時(shí)取最小值2，
當(dāng)xh(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：選B.由圖象知，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)．故選B.
2．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)為20萬元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為______萬件．
解析：利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．
答案：18
3．某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：如果行程不超過100 km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是________．
解析：由題意可得
y＝
答案：y＝


　　　　　　應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題(師生共研)
(1)某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170 p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)(　　)
A．30元　　　　　　　 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
(2)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為________元．
【解析】　(1)設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)元，則由題意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
當(dāng)p∈(0，30)時(shí)，L′(p)>0，當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′(p)200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n－1>，又≈＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2020年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選C.
【答案】　C
角度三　構(gòu)建函數(shù)y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型
某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買飼料，已知該場(chǎng)每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．求該養(yǎng)殖場(chǎng)多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．
【解】　設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)x(x∈N+)天購(gòu)買一次飼料可使平均每天支付的總費(fèi)用最少，平均每天支付的總費(fèi)用為y元．
因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
從而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)＝3x，即x＝10時(shí)，y有最小值．故該養(yǎng)殖場(chǎng)10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．
角度四　構(gòu)建分段函數(shù)模型
某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．
(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；
(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？
【解】　(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
因?yàn)閤為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.
當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，
有3x2－68x＋115＜0，
結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z.
所以y＝f(x)＝
(2)對(duì)于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185；
對(duì)于y＝－3x2＋68x－115
＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，
當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.
因?yàn)?70＞185，所以當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實(shí)際問題對(duì)變量的限制．　

1．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過濾______次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：設(shè)至少過濾n次才能達(dá)到市場(chǎng)需求，
則2%≤0.1%，即≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案：8
2．大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費(fèi)為20 000元，每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營(yíng)信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營(yíng)天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝則總利潤(rùn)最大時(shí)，該門面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)是______．
解析：由題意，總利潤(rùn)
y＝
當(dāng)0≤x≤400時(shí)，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以當(dāng)x＝300時(shí)，ymax＝25 000；
當(dāng)x>400時(shí)，y＝60 000－100x6，則x>65.
因?yàn)槟昀麧?rùn)＜10%，所以該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型．

解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答．
　
　某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1)．
(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)?
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此類推)；
②為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌．
解：(1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)①對(duì)于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，
可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
②因?yàn)閒(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＜0，得1＜x＜3.
所以函數(shù)f(x)在(1，3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預(yù)測(cè)這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌．

[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·湖北荊、襄、宜聯(lián)考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，表中記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況．
加油時(shí)間
加油量(升)
加油時(shí)累計(jì)里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600
(注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程)
在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(　　)
A．6升　　　　　　　 B．8升
C．10升 D．12升
解析：選C.因?yàn)榈诙渭訚M油箱時(shí)加油量為60升，所以從第一次加油到第二次加油共用油60升，行駛了600千米，所以在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為＝10(升)．故選C.
2．某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對(duì)于進(jìn)價(jià))，則該家具的進(jìn)價(jià)是(　　)
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：選D.設(shè)進(jìn)價(jià)為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D.
3．素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，因此后人將“2n－1”形式(n是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)．已知第20個(gè)梅森素?cái)?shù)為P＝24 423－1，第19個(gè)梅森素?cái)?shù)為Q＝24 253－1，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3)(　　)
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：選B.由題知＝≈2170.令2170＝k，則lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B.
4．由國(guó)家公安部提出，國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式實(shí)施．車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)＝則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才可以駕車(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)？(參考數(shù)據(jù)：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)(　　)
車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值
駕駛行為類型
閾值(mg/100 mL)
飲酒后駕車
≥20，50，
所以這兩位同學(xué)會(huì)影響其他同學(xué)休息．
10.如圖，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．

(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；
(2)求矩形BNPM面積的最大值．

解：(1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，
所以y＝－x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}．
(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，
則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝10，
所以當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，S(x)是增加的，
所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米．
[綜合題組練]
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r)·.設(shè)α＝，由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中≈3α3，則r的近似值為(　　)
A.R　 B．R　　
C.R　 D．R
解析：選D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因?yàn)棣粒?，所以＋?1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r ≈ ·R，故選D.
2.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100 ℃，水溫y(℃)與時(shí)間t(min)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y(℃)與時(shí)間t(min)近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝80＋b(a，b為常數(shù))．通常這種熱飲在40 ℃時(shí)口感最佳．某天室溫為20 ℃時(shí)，沖泡熱飲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時(shí)飲用，最少需要的時(shí)間為(　　)

A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
解析：選C.由題意知，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，函數(shù)圖象是一條線段；當(dāng)t≥5時(shí)，函數(shù)的解析式為y＝80＋b.將點(diǎn)(5，100)和點(diǎn)(15，60)代入解析式可得解得a＝5，b＝20，故函數(shù)的解析式為y＝80＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的時(shí)間為25 min.故選C.
3．新修的個(gè)人所得稅法在過渡期對(duì)納稅個(gè)人按照下表計(jì)算個(gè)人所得稅，值得注意的是起征點(diǎn)變?yōu)? 000元，即如表中“全月應(yīng)納稅所得額”是納稅者的月薪收入減去5 000 元后的余額．
級(jí)數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率
1
不超過3 000元的部分
3%
2
超過3 000元至12 000元的部分
10%
3
超過12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
…
某企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元，則應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅為______元．
解析：由企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元知，其個(gè)人所得稅屬于2級(jí)，則應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅為
(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．
答案：790
4．某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣傳，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量y(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝1＋(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完．若每件甲產(chǎn)品售價(jià)(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和，則當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為______萬元．
解析：由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價(jià)為×150%＋×50%，故年銷售收入為z＝·y＝45y＋6＋x.所以年利潤(rùn)W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(萬元)．所以當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為17＋－＝31.5(萬元)．
答案：31.5
5．已知美國(guó)某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝
(1)寫出年利潤(rùn)W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．
解：(1)當(dāng)040時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①當(dāng)040時(shí)，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
當(dāng)且僅當(dāng)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時(shí)，取等號(hào)，
所以此時(shí)W的最大值為5 760.
綜合①②知，
當(dāng)x＝32時(shí)，W取得最大值為6 104萬美元．
6．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？
解：(1)由題意知甲大棚投入50萬元，
則乙大棚投入150萬元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(萬元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得?20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，則t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，當(dāng)t＝8，即x＝128時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時(shí)，總收益最大，且最大總收益為282萬元．


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