第1講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程


　　

一、知識梳理
1．直線的傾斜角
(1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°．
(2)傾斜角的范圍為[0，π)．
2．直線的斜率
(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α，傾斜角是90°的直線沒有斜率．
(2)過兩點的直線的斜率公式
經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝＝.
3．直線方程的五種形式

名稱
已知條件
方程
適用范圍
點斜式
斜率k與點(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直線x＝x1
斜截式
斜率k與直線在y軸上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
兩點(x1，y1)，(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)
截距式
直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b
＋＝1
(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
常用結(jié)論
1．直線傾斜角和斜率的關(guān)系
不是傾斜角越大，斜率k就越大，因為k＝tan α，當α∈時，α越大，斜率k就越大，同樣α∈時也是如此，但當α∈[0，π)且α≠時就不是了．
2．五種特殊位置的直線方程
(1)x軸：y＝0.
(2)y軸：x＝0.
(3)平行于x軸的直線：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y軸的直線：x＝a(a≠0)．
(5)過原點且斜率存在的直線：y＝kx.
二、教材衍化
1．若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
解析：由題意得＝1，解得m＝1.
答案：1
2．直線3x－4y＋k＝0在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數(shù)k＝________．
解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，則有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α.(　　)
(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．(　　)
(4)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易錯糾偏
(1)由直線方程求斜率的思路不清；
(2)忽視斜率和截距對直線位置的影響；
(3)忽視直線斜率不存在的情況；
(4)忽視截距為0的情況．
1．直線l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率為________．
解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k＝－＝.
答案：
2．如果A·C0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．
答案：三
3．過直線l：y＝x上的點P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為________．
解析：①若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x＝2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；②若直線m的斜率k＝0，則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；③若直線m的斜率k≠0，設(shè)其方程為y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依題意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直線m的方程為y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.綜上可知，直線m的方程為x－2y＋2＝0或x＝2.
答案：x－2y＋2＝0或x＝2
4．過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________．
解析：當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；
當截距不為0時，設(shè)直線方程為＋＝1，
則＋＝1，解得a＝5，所以直線方程為x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
[學生用書P150]

　　　　　　直線的傾斜角與斜率(典例遷移)
(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　　 B．∪
C. D．∪
(2)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
【解析】　(1)設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α.因為sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故選B.


(2)如圖，因為kAP＝＝1，
kBP＝＝－，所以直線l的斜率k∈∪.
【答案】　(1)B　(2)∪
【遷移探究1】　(變條件)若將本例(2)中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．

解：因為P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.
如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.
【遷移探究2】　(變條件)若將本例(2)中的B點坐標改為(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍．
解：如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖象知l的傾斜角的范圍為[0°，45°]∪[135°，180°)．


(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟
①求出斜率k＝tan α的取值范圍；
②利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．
(2)斜率的求法
①定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率；
②公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
[提醒]　直線傾斜角的范圍是，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分，與三種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當傾斜角α∈時，斜率k∈；當α＝時，斜率不存在；當α∈時，斜率k∈.

1．若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則a的值為________．
解析：因為kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三點共線，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
2．已知點(－1，2)和在直線l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同側(cè)，則直線l傾斜角的取值范圍是________．
解析：點(－1，2)和在直線l：ax－y＋1＝0同側(cè)的充要條件是(－a－2＋1)>0，解得－0)，將點P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，從而S△AOB＝ab≥12，當且僅當＝時等號成立，這時k＝－＝－，從而所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面積的最小值為12，所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.
法二：依題意知，直線l的斜率k存在且k0.所以t≥5＋2＝9.
當且僅當a－1＝，即a＝3時，等號成立．
2．已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a＝________．
解析：由題意知直線l1，l2恒過定點P(2，2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，當a＝時，面積最?。?br /> 答案：
[學生用書P152]
　巧構(gòu)造，妙用斜率求解問題
一、比較大小
已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，則，，的大小關(guān)系為________．
【解析】　作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的大致圖象，如圖所示，可知當x>0時，曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，
因為a>b>c>0，
所以0，b>0)過點(1，1)，
所以a＋b＝ab，即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
當且僅當a＝b＝2時上式等號成立．
所以直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.
6.直線l經(jīng)過點A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率k的取值范圍是________．
解析：設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－.
令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
答案：k＜－1或k>
7．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是________．
解析：由題意可知a≠0.當x＝0時，y＝a＋2.
當y＝0時，x＝.
所以＝a＋2，
解得a＝－2或a＝1.
答案：－2或1
8．設(shè)點A(－1，0)，B(1，0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________．
解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖，

當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1，0)時，b分別取得最小值和最大值．
所以b的取值范圍是[－2，2]．
答案：[－2，2]
9．已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：
(1)過定點A(－3，4)；
(2)斜率為.
解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.
故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1.
所以直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知射線l1：y＝4x(x≥0)和點P(6，4)，試在l1上求一點Q使得PQ所在直線l和l1以及直線y＝0在第一象限圍成的面積達到最小值，并寫出此時直線l的方程．
解：設(shè)點Q坐標為(a，4a)，PQ與x軸正半軸相交于M點．
由題意可得a＞1，否則不能圍成一個三角形．
PQ所在的直線方程為：y－4＝(x－6)，
令y＝0，x＝，
因為a＞1，所以S△OQM＝×4a×，
則S△OQM＝＝10＝
10≥40，
當且僅當(a－1)2＝1時取等號．
所以a＝2時，Q點坐標為(2，8)，
所以此時直線l的方程為：x＋y－10＝0.
[綜合題組練]
1．若直線l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，則當△AOB的面積取最小值時直線l的方程為(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：選B.由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．
依題意得解得k>0.因為S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，當且僅當16k＝，即k＝時等號成立．此時l的方程為x－2y＋8＝0.
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，點O(0，0)，M(－1，3)，點N在x軸的負半軸上，則直線MN的方程為(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：選C.因為MO＝MN，所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù)，所以kMN＝－kMO＝3，所以直線MN的方程為y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，選C.
3．已知動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過點P(1，m)且點Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，則＋的最小值為(　　)
A. B．
C．1 D．9
解析：選B.因為動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過點P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又點Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，則＋＝(a＋c)·＝≥＝，當且僅當c＝2a＝時取等號，故選B.
4．已知直線l：x－my＋m＝0上存在點M滿足與兩點A(－1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
解析：設(shè)M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
聯(lián)立得x2＋x＋6＝0.
要使直線l：x－my＋m＝0上存在點M滿足與兩點A(－1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則Δ＝－24≥0，即m2≥.
所以實數(shù)m的取值范圍是∪.
答案：∪
5.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程．

解：由題意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
設(shè)A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中點C，
由點C在直線y＝x上，且A，P，B三點共線得

解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0.
6．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值，并求此時直線l的方程．
解：(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
解得
所以無論k取何值，直線l總過定點(－2，1)．
(2)直線方程可化為y＝kx＋1＋2k，當k≠0時，要使直線不經(jīng)過第四象限，
則有
解得k≥0；
當k＝0時，直線為y＝1，符合題意．
綜上，k的取值范圍是k≥0.
(3)依題意得A，B(0，1＋2k)，
且
解得k>0.
所以S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是4k＝，此時k＝，
所以Smin＝4，
此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.


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