2021版高考理科數(shù)學(xué)（北師大版）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第九章　第2講　兩直線的位置關(guān)系

?第2講　兩直線的位置關(guān)系


一、知識梳理
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率都存在且分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2；特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行．
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直．
2．兩直線相交
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組的解一一對應(yīng)．
相交?方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；
平行?方程組無解；
重合?方程組有無數(shù)個解．
3．兩種距離
點點距
點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離
|P1P2|＝

點線距
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝



常用結(jié)論
1．兩個充要條件
(1)兩直線平行或重合的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.
(2)兩直線垂直的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六種常見對稱
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0，0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．
(6)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．
3．三種直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、教材衍化
1．已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝________．
解析：由題意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.因為a>0，所以a＝－1＋.
答案：－1
2．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________．
解析：由題意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)
(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(　　)
(4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、易錯糾偏
(1)判斷兩直線平行時，忽視兩直線重合的情況；
(2)判斷兩直線的位置關(guān)系時，忽視斜率不存在的情況；
(3)求兩平行線間的距離，忽視x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相同．
1．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝________．
解析：直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有＝≠，故m＝2或－3.
答案：2或－3
2．若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________．
解析：由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案：0或1
3．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．
解析：先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，
則兩平行線間的距離為d＝＝.
答案：


　　　　　　兩直線的位置關(guān)系(多維探究)
角度一　判斷兩直線的位置關(guān)系
(2020·天津靜海區(qū)聯(lián)考)“a＝1”是“直線ax＋2y－8＝0與直線x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】　設(shè)直線l1：ax＋2y－8＝0，直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1與l2平行，則a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.當a＝－2時，直線l1的方程為－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直線l2的方程為x－y＋4＝0，此時兩直線重合，則a≠－2.當a＝1時，直線l1的方程為x＋2y－8＝0，直線l2的方程為x＋2y＋4＝0，此時兩直線平行．故“a＝1”是“直線ax＋2y－8＝0與直線x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要條件．故選A.
【答案】　A
角度二　由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)
(1)(2020·安徽蕪湖四校聯(lián)考)直線(2m－1)x＋my＋1＝0和直線mx＋3y＋3＝0垂直，則實數(shù)m的值為(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．－1或0
(2)(2020·陜西寶雞中學(xué)二模)若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
【解析】　(1)由兩直線垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故選D.
(2)①當m＝－1時，兩直線方程分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1.綜上可得m＝1.故選A.
【答案】　(1)D　(2)A
角度三　由兩直線的位置關(guān)系求直線方程
(一題多解)經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線的方程為________．
【解析】　法一：由方程組
解得即交點為，
因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直線的斜率為k＝.
由點斜式得所求直線方程為y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0，
由方程組可解得交點為，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
法三：由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
【答案】　4x－3y＋9＝0

兩直線平行、垂直的判斷方法
若已知兩直線的斜率存在．
(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等．
(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.
[提醒]　判斷兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情況．
(2)注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．　

1．求滿足下列條件的直線方程．
(1)過點P(－1，3)且平行于直線x－2y＋3＝0；
(2)已知A(1，2)，B(3，1)，線段AB的垂直平分線．
解：(1)設(shè)直線方程為x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直線方程得c＝7，
所以直線方程為x－2y＋7＝0.
(2)AB的中點為，即，
直線AB的斜率kAB＝＝－，
故線段AB的垂直平分線的斜率k＝2，
所以其方程為y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
2．(一題多解)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；
(2)當l1⊥l2時，求a的值．
解：(1)法一：當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
當a＝0時，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2?
解得a＝－1，
綜上可知，當a＝－1時，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2?
?可得a＝－1，
故當a＝－1時，l1∥l2.
(2)法一：當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1與l2不垂直，故a＝1不成立；
當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
當a≠1且a≠0時，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.

　　　　　　兩條直線的交點和距離問題(典例遷移)
(1)經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為__________________．
(2)(2020·宿州模擬)已知點P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________．
(3)(2020·廈門模擬)若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則c的值是________．
【解析】　(1)由方程組得即P(0，2)．因為l⊥l3，所以直線l的斜率k＝－，所以直線l的方程為y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
(2)由題意得，點P到直線的距離為＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0，10]．
(3)依題意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，又兩平行線之間的距離為，所以＝，解得c＝2或－6.
【答案】　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0，10]　(3)2或－6
【遷移探究】　若將本例(1)中的“垂直”改為“平行”，如何求解？
解：法一：由方程組
得即P(0，2)．
因為l∥l3，所以直線l的斜率k＝，
所以直線l的方程為y－2＝x，
即3x－4y＋8＝0.
法二：因為直線l過直線l1和l2的交點，
所以可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因為l與l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，
所以直線l的方程為3x－4y＋8＝0.

(1)求過兩直線交點的直線方程的方法
求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
(2)利用距離公式應(yīng)注意：
①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等．　

1．已知A(2，0)，B(0，2)，若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
解析：選A.設(shè)點C(t，t2)，直線AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.
由于△ABC的面積為2，
則這個三角形中AB邊上的高h滿足方程×2h＝2，即h＝.
由點到直線的距離公式得＝，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因為這兩個方程各有兩個不相等的實數(shù)根，故這樣的點C有4個．
2．已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________．
解析：

如圖，已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點A(4，0)，B(0，2)．
而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點P(－2，1)，斜率為k的動直線．
因為兩直線的交點在第一象限，
所以兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，
所以動直線的斜率k需滿足kPA