2021版高考理科數(shù)學(xué)（北師大版）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第二章　第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 一、知識梳理1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N＋..式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?(2)根式的性質(zhì)①()n＝a(n∈N＋.，且n>1)；②＝2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；②負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax (a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)常用結(jié)論1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來研究．二、教材衍化1．化簡(x<0，y<0)＝________．解析：因為x<0，y<0，所以4＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.答案：－2x2y2．函數(shù)y＝2x與y＝2－x的圖象關(guān)于________對稱．解析：作出y＝2x與y＝2－x＝的圖象(圖略)，觀察可知其關(guān)于y軸對稱．答案：y軸3．已知函數(shù)f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，則A的坐標(biāo)為________．解析：令x－2＝0，則x＝2，f(2)＝3，即A的坐標(biāo)為(2，3)．答案：(2，3)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)＝()n＝a.(　　)(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)(3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(　　)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)(5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　)(6)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×二、易錯糾偏(1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子(a∈R)化簡出錯；(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯；(3)指數(shù)函數(shù)問題時刻注意底數(shù)的兩種情況；(4)復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯．1．計算＋＝________．解析：＋＝(1＋)＋(－1)＝2.答案：22．若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________．解析：由題意知即a＝2.答案：23．若函數(shù)f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值為2，則a＝________．解析：當(dāng)a>1時，a＝2；當(dāng)0<a<1時a－1＝2，即a＝.答案：2或4．函數(shù)y＝2的值域為________．解析：因為≠0，所以2>0且2≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)  　　　　　　指數(shù)冪的化簡與求值(自主練透)1．化簡·(a>0，b>0)＝________．解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.答案：2．計算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.答案：－3．化簡：÷×＝________(a>0)．解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2.答案：a2指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算．(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答．[提醒]　運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．　 　　　　　　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(典例遷移) (1)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為(　　)(2)若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上遞減，則k的取值范圍為________．【解析】　(1)函數(shù)f(x)＝21－x＝2×，遞減且過點(0，2)，選項A中的圖象符合要求． (2)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，其在(－∞，0]上遞減，所以k的取值范圍為(－∞，0]．【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]【遷移探究1】　(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)＝|3x－1|－k有一個零點，則k的取值范圍為________．解析：函數(shù)f(x)有一個零點，即y＝|3x－1|與y＝k有一個交點．由本例(2)得y＝|3x－1|的圖象如圖所示，故當(dāng)k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點，所以函數(shù)f(x)有一個零點．答案：{0}∪[1，＋∞)【遷移探究2】　(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．　 1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0  D．0<a<1，b<0解析：選D.由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.2．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個交點．(1)當(dāng)0＜a＜1時，如圖①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；(2)當(dāng)a＞1時，如圖②，而y＝2a＞1不符合要求．所以0＜a＜.答案：　　　　　　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)角度一　指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)已知a＝2，b＝4，c＝25，則(　　)A．b<a<c  B．a<b<cC．b<c<a  D．c<a<b(2)若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則滿足f(x－1)＞－e2的x的取值范圍是(　　)A．(－2，＋∞)    B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞)    D．(3，＋∞)【解析】　(1)因為a＝2，b＝4＝2，由函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)知，b<a；又因為a＝2＝4，c＝25＝5由函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，a<c.綜上得b<a<c.故選A.(2)由f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故選B.【答案】　(1)A　(2)B角度二　指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間為________．(2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________．【解析】　(1)設(shè)u＝－x2＋2x＋1，因為y＝在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]角度三　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 已知函數(shù)f(x)＝.(1)若f(x)有最大值3，求a的值；(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．【解】　(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，因此必有解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時，a的值等于1.(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝的值域為(0，＋∞)．應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，因此只能a＝0.(因為若a≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)故f(x)的值域為(0，＋∞)時，a的值為0. (1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．　 1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是　(　　)A．a＜b＜c　　　　　　 B．a＜c＜bC．b＜a＜c  D．b＜c＜a解析：選C.因為指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a＜c，故選C.2．若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________．解析：因為f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝當(dāng)f(x－2)>0時，有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集為{x|x>4或x<0}．答案：{x|x>4或x<0}3．已知函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性．解：(1)f(x)的定義域是R，令y＝，得ax＝－，因為≠1在定義域內(nèi)恒成立，所以y≠1.因為ax>0，所以－>0，解得－1<y<1，所以f(x)的值域為(－1，1)．(2)因為f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(3)f(x)＝＝1－.設(shè)x1，x2是R上任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為x1<x2，所以當(dāng)a>1時，a x2>ax1>0，從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)為R上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，ax1>a x2>0，從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù)． [基礎(chǔ)題組練]1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因為函數(shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個性質(zhì)．2．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　)A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<bC．c<a<b  D．b<c<a解析：選B.因為a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a<c<b.故選B.3．(2020·安徽皖江名校模擬)若ea＋πb≥e－b＋π－a，則有(　　)A．a＋b≤0  B．a－b≥0C．a－b≤0  D．a＋b≥0解析：選D.令f(x)＝ex－π－x，則f(x)在R上是增加的，因為ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，則f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故選D.4．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)是(　　)A．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是增加的B．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是減少的C．奇函數(shù)，且是增加的D．奇函數(shù)，且是減少的解析：選C.易知f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此時－x<0，則f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此時－x>0，則f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C.5．設(shè)x>0，且1<bx<ax，則(　　)A．0<b<a<1  B．0<a<b<1C．1<b<a  D．1<a<b解析：選C.因為1<bx，所以b0<bx，因為x>0，所以b>1，因為bx<ax，所以>1，因為x>0，所以>1，所以a>b，所以1<b<a.故選C.6．函數(shù)y＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________．解析：因為函數(shù)y＝ax－b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1)．答案：(0，1)7．不等式<恒成立，則a的取值范圍是________．解析：由題意，y＝是減函數(shù)，因為<恒成立，所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，即(a－2)(a－2＋4)<0，即(a－2)(a＋2)<0，故有－2<a<2，即a的取值范圍是(－2，2)．答案：(－2，2)8．已知實數(shù)a，b滿足等式＝，下列五個關(guān)系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的關(guān)系式有________．(填序號)解析：函數(shù)y1＝與y2＝的圖象如圖所示． 由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．答案：①②⑤9．設(shè)f(x)＝.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性．解：(1)根據(jù)題意，f(x)＝，則f(－x)＝＝＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2)因為f(x)＝＝－x＋，所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－，因為x＞0，所以2x＋1＞2，所以＜1，所以－1＋＜0，所以f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減少的．10．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3，0]，則t∈.故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，故值域為.(2)關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，設(shè)2x＝m>0，等價于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，記g(m)＝2am2－m－1，當(dāng)a＝0時，解為m＝－1<0，不成立．當(dāng)a<0時，開口向下，對稱軸m＝<0，過點(0，－1)，不成立．當(dāng)a>0時，開口向上，對稱軸m＝>0，過點(0，－1)，必有一個根為正，綜上得a>0.[綜合題組練]1．已知0<b<a<1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是(　　)A．ba  B．aaC．ab  D．bb解析：選C.因為0<b<a<1，所以y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)，所以ab>aa，ba<bb，又因為y＝xb在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ab>bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C.2．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　)A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<2解析：選D.作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，因為a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因為f(a)>f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故選D.3．設(shè)y＝f(x)在(－∞，1]上有定義，對于給定的實數(shù)K，定義fK(x)＝給出函數(shù)f(x)＝2x＋1－4x，若對于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則(　　)A．K的最大值為0B．K的最小值為0C．K的最大值為1D．K的最小值為1解析：選D.根據(jù)題意可知，對于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，則t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1，所以K≥1，故選D.4．設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，則實數(shù)a的值為________．解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①當(dāng)0<a<1，x∈[－1，1]時，t＝ax∈，此時f(t)在上為增函數(shù)．所以f(t)max＝f＝－2＝14.所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.②當(dāng)a>1時，x∈[－1，1]，t＝ax∈，此時f(t)在上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．綜上得a＝或3.答案：或35．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.故k的取值范圍為.