[最新考綱]　1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．


1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)
減函數(shù)
定義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖
象
描
述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件
①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論
M為y＝f(x)的最大值
M為y＝f(x)的最小值

1．函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論
(1)對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D上是增函數(shù)；＜0?f(x)在D上是減函數(shù)．
(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．
(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．
(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．
2．函數(shù)最值存在的2個(gè)結(jié)論
(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(－1)＜f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．(　　)
(3)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(4)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．函數(shù)y＝x2－6x＋10在區(qū)間(2,4)上(　　)
A．遞減　 B．遞增
C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減
C　[因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－6x＋10的圖象為拋物線，且開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝3，所以函數(shù)y＝x2－6x＋10在(2,3)上為減函數(shù)，在(3,4)上為增函數(shù)．]
2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A　[y＝3－x在R上遞減，y＝在(0，＋∞)上遞減，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上遞減，故選A.]
3．若函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________．
　[因?yàn)楹瘮?shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，所以2k＋1＜0，即k＜－.]
4．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________．
2　　[易知函數(shù)f(x)＝在x∈[2,6]上為減函數(shù)，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]


考點(diǎn)1　確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
　確定函數(shù)單調(diào)性的4種方法
(1)定義法．利用定義判斷．
(2)導(dǎo)數(shù)法．適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．
(3)圖象法．由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．
(4)性質(zhì)法．利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時(shí)，需先確定簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性．
　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
　(1)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A. B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間為________，單調(diào)遞減區(qū)間為________．
(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]　[(1)y＝|x2－3x＋2|＝
如圖所示，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和[2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1]和.故選B.
(2)令u＝x2＋x－6，
則y＝可以看作是由y＝與u＝x2＋x－6復(fù)合而成的函數(shù)．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)，而y＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以y＝的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－3]，單調(diào)增區(qū)間為[2，＋∞)．]
　(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟一般為：①確定函數(shù)的定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減”．
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間．
　含參函數(shù)的單調(diào)性
　[一題多解]判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的單調(diào)性．
[解]　法一：(定義法)設(shè)1≤x1＜x2≤2，則
f(x2)－f(x1)＝ax＋－
＝(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.
又1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，從而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故當(dāng)a∈(1,3)時(shí)，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增．
法二：(導(dǎo)數(shù)法)因?yàn)閒′(x)＝2ax－＝，
因?yàn)?≤x≤2，∴1≤x3≤8，
又1＜a＜3，
所以2ax3－1＞0，
所以f′(x)＞0，
所以函數(shù)f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函數(shù)．
　定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形(通常是因式分解和配方)；④定號(hào)(即判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù))；⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．
　1.函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
A　[由題意得，f(x)＝
當(dāng)x≥2時(shí)，[2，＋∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)x＜2時(shí)，(－∞，1]是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，[1,2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．]
2．判斷并證明函數(shù)f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．
[解]　法一：(定義法)設(shè)－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞增．
法二：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝＝，
所以當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)＞0，
即當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1,1)上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(－1,1)上為單調(diào)增函數(shù)．
考點(diǎn)2　函數(shù)的最值
　求函數(shù)最值的5種常用方法及其思路
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．
(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．
(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．
(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
　(1)若函數(shù)f(x)＝的最小值為f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)函數(shù)f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．
(3)函數(shù)y＝－x(x≥0)的最大值為________．
(1)D　(2)3　(3)　[(1)當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)x＝1時(shí)取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值為f(0)，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝(x－a)2單調(diào)遞減，故a≥0，
此時(shí)的最小值為f(0)＝a2，
故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.
又a≥0，得0≤a≤2.故選D.
(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.
(3)令t＝，則t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，ymax＝.]
[逆向問題]　若函數(shù)f(x)＝－＋b(a＞0)在上的值域?yàn)?，則a＝________，b＝________.
1　　[∵f(x)＝－＋b(a＞0)在上是增函數(shù)，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.]
　(1)求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．如本例(3)．
(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．如本例(1)．
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值．如本例(2)；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上不單調(diào)，則最小值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點(diǎn)值中最小的值，最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點(diǎn)值中最大的值．
　1.函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開_______．
(－∞，－4]∪[4，＋∞)　[當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)；
當(dāng)x＜0時(shí)，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)．]
2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}＝設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
1　[法一：(圖象法)在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)，g(x)圖象，
依題意，h(x)的圖象如圖所示．
易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn)，
因此h(x)的最大值為h(2)＝1.
法二：(單調(diào)性法)依題意，h(x)＝
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，h(x)＝log2 x是增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)，h(x)＝3－x是減函數(shù)，
所以h(x)在x＝2時(shí)取得最大值h(2)＝1.]
考點(diǎn)3　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
　比較大小
　比較函數(shù)值大小的解題思路
比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．
　已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2＞x1＞1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c
D　[根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]
　本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，然后借助對(duì)稱性，化變量－，2,3于同一單調(diào)區(qū)間，并借助單調(diào)性比較大小．
　解不等式
　求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路
先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域．
　定義在[－2,2]上的函數(shù)f(x)滿足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
C　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，
所以函數(shù)在[－2,2]上單調(diào)遞增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故選C.]
　本例在求解時(shí)，應(yīng)注意隱含條件為a2－a∈[－2,2]，2a－2∈[－2,2]．
[教師備選例題]
f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集為________．
(8,9]　[因?yàn)?＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以有
解得8

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