第2講　數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和

數(shù)學(xué)歸納法
[核心提煉]
用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，證明步驟：
(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)，命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．
由(1)(2)，可知命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)都成立．
[典型例題]
(2019·寧波市九校聯(lián)考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；
(2)猜想Sn與Tn的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【解】　(1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120.
(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)．
證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝T1；
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，Sk＝Tk，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)
＝×(2k＋1)(2k＋2)
＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.
即n＝k＋1時(shí)也成立，
由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．

利用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)
(1)這兩步合為一體才是數(shù)學(xué)歸納法，缺一不可．其中第一步是基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)．
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明與不等式有關(guān)的命題，在由n＝k證明n＝k＋1時(shí)，要準(zhǔn)確利用證明不等式的基本方法：比較法、分析法、綜合法、放縮法等．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
(2019·高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝4，a4＝S3.數(shù)列{bn}滿足：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝，n∈N*，證明：c1＋c2＋…＋cn10 B．當(dāng)b＝時(shí)，a10>10
C．當(dāng)b＝－2時(shí)，a10>10 D．當(dāng)b＝－4時(shí)，a10>10
解析：選A.當(dāng)b＝時(shí)，因?yàn)閍n＋1＝a＋，所以a2≥，又an＋1＝a＋≥an，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10>a≥32>10.當(dāng)b＝時(shí)，an＋1－an＝，故a1＝a＝時(shí)，a10＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4時(shí)，均存在小于10的數(shù)x0，只需a1＝a＝x0，則a10＝x010不成立．所以選A.
9．(2019·嘉興一中高考適應(yīng)性考試)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則an>0的最大n＝________，滿足SkSk＋1S7>S5，
所以依題意a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S60，
所以an>0的最大n＝6.
所以S11＝＝11a6>0，
S12＝＝>0，
S13＝＝13a7

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